一道55年历史的数学难题被攻克——这次靠的是人类

本文初版发表于《Quanta Magazine》。

已故数学家 Ronald Graham 身兼两职。他不仅是一位著名数学家，还曾担任美国数学会主席。同时，他也是一位严肃的杂耍表演者，并曾出任国际杂耍家协会主席。他的妻子、加州大学圣地亚哥分校数学家 Fan Chung 回忆道：“他喜欢各种技巧，比如旋转一个球、旋转衣架、同时旋转多个球，甚至把笔扔向墙壁。”

有时，Graham 会同时扮演这两个角色。他在1980 年的一次电视访谈中曾说：“事实上，许多数学家和计算机科学家都对杂耍感兴趣，这很有趣。我认为，这正是因为他们都在寻找模式和结构。”

后来，他发表了多篇关于杂耍数学的论文，其中一些是与 Chung 合作完成的。但早在 1971 年，也就是他明确建立这种联系之前的几十年，他就提出了一个问题。如今有些数学家认为，这个问题可能也受到了杂耍的启发。

假设有一组互不相同的非零整数，你总能重新排列它们的顺序，使得前两个数之和、前三个数之和、前四个数之和……所有“部分和”都互不相同吗？用杂耍的语言来说，如果每个球在空中停留的时间都不同，你总能找到一种投掷顺序，使得两个球不会在同一节拍落下——否则就毁了一台好戏。

如果所有数字都是正数，Graham 问题的答案显然是肯定的：加的数字越多，和就越大。同样，如果正负数混合出现，答案也已知是肯定的。但如果这些数字处在一个有限的世界里呢——比如像钟表上的数字一样，数到一定程度就会循环？

已故数学家 Ronald Graham 也是一位杂耍高手。图片来源：Peter Vidor

这正是 Graham 想弄清楚的问题。他猜想答案应该仍然是肯定的。他认为，即便面对严苛的约束条件，往往依然能找到足够的自由度去构造特殊的模式或结构——就像数独棋盘或拉丁方阵（另一种谜题）虽然规则繁多，通常还是能找到符合条件的解。普林斯顿大学数学家 Noga Alon 说：“它和这些关于设计、关于高度对称结构的问题都契合得很好。”但几十年来，没人能证明 Graham 的直觉是对的。

转机出现在最近：几位年轻数学家接过了这个“球”。他们通过横跨四篇论文、涉及数学多个领域的证明，最终解决了 Graham 的重排猜想。最后一篇论文由波恩大学的 Lisa Sauermann 和芝加哥大学的 Huy Tuan Pham 完成，于 2026 年 2 月发表，正式为这个问题画上句号。

贯穿这几篇论文的共同主题，是随机性的力量——它能帮助我们揭示模式。正如 Alon 所说：“解决这个问题靠的是合作的力量、年轻一代的力量，以及概率方法的力量。”

Alp Müyesser 是牛津大学的数学家，他特别喜欢研究一类问题——这类问题的解答需要两个要素：一个随机过程，外加一点别的东西。2022 年，还在读研究生的他解决了其中一个这样的问题。后来他接触到 Graham 猜想，意识到自己刚完成的证明恰好也能派上用场。

Alp Müyesser 喜欢思考那些需要把随机性和其他因素结合起来的问题。摄影：Kangxin Chen

这个猜想设定在“时钟算术”的世界里。先把整数排成一条数轴，然后把它绕成钟表盘的形状，让数字在某个素数 p 之后循环重复。比如 p 等于 7，那么 0、7、14 以及所有 7 的倍数都是等价的——也就是说，两个正数相加（比如 3 加 4）可能得到零。

Graham 提出的问题是：从这条数轴上任取一组非零数字（无论 p 是多少），是否总能重新排列它们，使得所有的部分和互不相同？

挑战的难度取决于这组数字的规模相对于 p 的大小。取的数字越多，需要管理的部分和就越多；但取得太少，可用的排列方式又会减少。不同的情况需要不同的方法来应对。

Müyesser 和他曾经的导师、伦敦大学学院的 Alexey Pokrovskiy 攻克的是这样一种情况：这组数字几乎包含了从 0 到 p 的所有可能取值。面对这么大规模的集合，构造出一个有效的排列极其困难。但事实证明，先从一个随机排列入手，就能完成大部分工作。

“计算机科学家通常把这称为‘在干草堆里找干草’问题，”Müyesser 说。你可能知道存在大量好的排列方式，但真正找到一个却很难。“如果随机去做，大概率能行，但很难明确描述出解应该长什么样。”

Müyesser 和 Pokrovskiy 需要保证排列中任何位置的数字序列都不会相加为零。否则，把这些数加到之前的部分和上，就会得到重复的和。

完全随机的排列里可能存在少数这类麻烦的序列。于是 Müyesser 和 Pokrovskiy 先从数集中挑出几个特殊的数放着备用，再把剩下的随机打乱。他们会检查随机排列中有没有问题；一旦遇到和为零的区间，就插入一个备用数字来改变它。2022 年，他们发布了这一解法，不过它隐藏在一篇主要讨论用同样技巧解决更一般问题的论文中。

几年后，牛津大学的 Noah Kravitz 在不知情的情况下，在一个未解问题在线档案库里偶然发现了 Graham 的猜想。“我看到这是个未解问题，心想，我们居然不知道这个答案，真有点丢人，”Kravitz 说。“这种局面必须被改变。”

他决定从相反的角度切入这个猜想。他和牛津大学的 Benjamin Bedert 一起，考虑了数集规模远小于 p 的情形——Alon 举例说，比如你有一个 100 个数字的集合，而 p 是 10 亿。

Kravitz 和 Bedert 解决了这类情形下的 Graham 猜想，并于 2024 年 9 月发布了证明。Müyesser 看到后主动联系，分享了自己的工作；随后三人（加上另外两位同事）联手，把 Müyesser 最初的方法推广开来。

“我们这样的组合本来挺出人意料的，”克拉维茨说。他和穆叶瑟来自组合数学中两个通常互不往来的分支。“不同子领域采用的技术完全不同，”他补充道。

诺亚·克拉维茨是几位最近重新掀起 Graham 猜想热潮的年轻数学家之一。摄影：Sophie Carlarne

他们于2025年8月发表在 arXiv 上的论文，处理了数字集合规模相对于 p 较大的更多情形。不过，在克拉维茨和贝代特所覆盖的小集合情形与他们的大集合情形之间，仍留下一块空白：没人知道该如何处理中等规模的集合，例如那些元素数量大约是 p 一半的集合。“我们的方法在那里行不通，而且有明确理由表明它本来就不可能奏效，”穆叶瑟说。

看来这项研究可能要进入又一次漫长的停滞期。然而，2026年2月，意外情况出现了。

丽莎·绍尔曼和胡伊·屯·范是多年的老朋友。两位数学家于2015年在斯坦福大学相识，当时绍尔曼是研究生，范是本科生。如今他们分处不同大洲——绍尔曼在德国波恩，范在芝加哥。但2025年9月在德国举行的一场学术会议，让他们难得地再次共上一块黑板，之后范还专程到波恩短住拜访。他们只需要一个值得钻研的问题。

丽莎·绍尔曼和胡伊·屯·范在过去十年中一直是朋友。他们最近在 Graham 猜想上的合作，终于为这个悬而未决的问题画上了句号。

左图：Filip Filipi；右图：Huy Tuan Pham 提供

在那次会议上，他们听了两场关于 Graham 猜想的报告，主讲者都是曾试图弥补这一缺口却未能成功的数学家。这引起了他们的兴趣。后来才发现，Sauermann 高中时期就在国际数学奥林匹克竞赛中遇到过一个非常相关的题目，而且正确地解了出来——到高中毕业时，她已在这项知名赛事中四次夺得金牌。（那道题很可能是 Chung 出的，因为她当年就在命题委员会里，而且经常从 Graham 的众多谜题中汲取灵感。）

在三天的访问结束前，Sauermann 和 Pham 已经想好了破解这个难题的方案。

方案的关键是一种技术要求很高的方法，叫做反集中（anti-concentration）。反集中命题断言：某个事件发生的概率特别低。但要证明这类命题，推导过程极其繁琐，以至于 Kravitz 等人虽然意识到这种反集中的思路可能行得通，却“一直没敢真的去试”，他说。

不过，Sauermann 和 Pham 起初还是沿用了前人的路子：把那组数随机重排，再设计一个程序来修补出问题的情形——也就是那些和为零的序列。每当发现一个零和序列，就把序列中的最后一个数换成别的数。

这个程序通常运转顺利，但有三种“坏事件”会导致它失效。其一：零和序列可能出现在整个排列的末尾附近，那就没有别的数可以换进来。其二：许多零和序列可能挨得太近，无法全部修补。其三：修补一个坏序列，可能在后面又制造出新的零和序列。

Sauermann 和 Pham 希望借助反集中方法证明，这些坏事件发生的概率都足够低。这样一来，就必然存在一种重新排列这组数的方式，使猜想得以成立。

为此，这两位研究者运用傅里叶分析——一个允许将函数重写为若干简单波之和的数学领域——证明了：一般情况下，当对随机数集合求和时，没有任何一个特定总和具有特别高的出现概率。随后，他们利用这一洞见仔细估算了每个不良事件发生的概率，最终证明出现不良事件的总概率低于100%。这就足以解决该猜想。

在德国完成阶段性工作几个月后，Sauermann和Pham在线发表了他们27页的证明文件。他们不仅证明了令人满意的重新排列总是可能的，还证明随机排序可以在至少90%的情况下通过重新排列来消除不良事件——这是一个巨大的成功率。

此前研究该问题的数学家惊讶地发现剩余案例竟被如此迅速地解决。“他们的思路完全不同，”Müyesser说。

这四项证明共同证实了Graham猜想适用于任意大小的集合。但它们都假设p非常大；虽然没人算出确切值，但可以参考10的100次方这种量级。对数学家来说这没问题——关键在于你是在时钟算术的框架下工作。但该问题在技术上仍有未决的一面：你仍可以尝试对所有p解决猜想。而且，如果你想把这个结果用于编排真实的杂耍动作，那就没戏了：为了对应这么大的p，动作序列会长得不切实际。

插图：Quanta提供

这一证明证实，即便在这些奇怪的有限数字设定中，“也总存在一些优美的结构”，Alon说。你总能获得某种程度的灵活性，通过重新排列集合中的数字，避免重复访问相同的部分和。

“提出一个好问题，本身就是一门艺术，”Chung 说，“我想 Ron 若能看到这个问题被解决，一定会非常高兴。”

原文链接经 Quanta Magazine 授权转载。Quanta Magazine 是 Simons Foundation 旗下的编辑独立刊物，致力于报道数学及物理、生命科学领域的研究进展与趋势，增进公众对科学的理解。