AI证明准黎曼假设后的数学新篇章

引言

在 OpenAI 于 2026 年 10 月 6 日公布的 377 项成果中，有一项格外引人注目。它声称解决了“准黎曼假设”——这是黎曼假设的一个较弱版本，而黎曼假设可以说是数学界最大的未解难题。正如斯坦福大学的 Jared Duker Lichtman 所说，这个新证明“遥遥领先，是迄今为止 AI 数学领域最重大的成就”。

黎曼假设悬而未决已有 160 多年。解决它将帮助数学家更深入地理解素数的本质——素数是数学最关键的基石之一，而这还只是个开始。

纽约大学的 Maksym Radziwiłł 表示，即便是这个更为有限的“准黎曼假设”结果，其影响也“令人震撼”。“从某种意义上说，黎曼假设的绝大部分推论已经可以从准黎曼假设中推导出来。”

此外，与数学家们长期以来的预期相反，这个证明并没有引入任何新概念，而是发掘出了旧概念之间隐藏的联系。“这个证明出人意料地综合运用了诸多知名思想，”佐治亚理工学院的 Alexander Dunn 说。

这一成果部分依赖于 Radziwiłł 和 Dunn 开创的技术。他们与其他数论学家一起，一直在努力理解这个证明及其可能带来的意义。如今，答案开始浮出水面。

走向 Zeta 函数及其之外

要理解准黎曼假设的内容，首先需要理解黎曼假设。世纪之交，克雷数学研究所宣布了七大千禧年大奖难题，其中黎曼假设的地位远超其余六个。它是大卫·希尔伯特一个世纪前在备受瞩目的议程设置名单中提出的那些难题里唯一被延续下来的。

表面上看，这个猜想关注的是某个特定函数的行为。从求和 $latex 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots $ 开始。现在，利用这个求和（借助一种特殊的数学技巧将其范围扩展），构建一个更通用的函数，即黎曼ζ函数：

$latex \zeta (s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots$

这里，输入变量 s 是一个复数。复数由两部分组成——“实部”和“虚部”，后者是 −1 的平方根（写作 i）的倍数。任何复数都可以被视为平面上的一个点：

黎曼假设探讨的是哪些 s 值会使ζ函数等于零。

但它关注的远不止这个特定函数的行为。正如伯恩哈德·黎曼在 1859 年首次提出该猜想时所意识到的，这个函数与素数中的规律有关——素数即只能被 1 和自身整除的整数，许多数学家将其称为“算术的原子”。

长期以来，人们已知当你沿着数轴移动时，素数会逐渐稀疏。黎曼证明，素数稀疏的程度在某种意义上由ζ函数控制——具体来说，由它等于零的位置决定。

很容易证明，当 s 为负偶数（−2, −4, −6, …）时，ζ(s) = 0。这些零点被称为平凡零点。黎曼猜想指出，Zeta 函数仅有的其他零点（称为非平凡零点）都出现在 s 的实部为 1/2 处。也就是说，它们应当全部落在同一条垂直线上：

如果有任何非平凡零点偏离了这条垂直线，那将意味着素数呈现出一种极其惊人的分布模式，而迄今为止从未有人观察到过这种现象。

仅仅是缩小了非平凡零点可能出现的区域，就产生了巨大的影响。黎曼本人证明，Zeta 函数的非平凡零点只能位于 0 到 1 之间的一个垂直带状区域内。随后，1896 年两位数学家证明这些零点不可能位于该带状区域的边缘。作为直接推论，他们得以证明一个重要的结果——素数定理，即描述素数密度随数增大而平均衰减速度的公式。

如果黎曼猜想成立，数学家就能保证：相对于素数定理给出的平均值，任何偏差总是微小的。

数学家们已数值验证了前 12 万亿个非平凡零点都位于 1/2 这条线上。但他们无法确定该猜想对所有零点都成立，哪怕只有一个离群点，其影响也将如地震般巨大。正如 Enrico Bombieri 在阐述该问题千禧年奖题表述的论文中所写：“黎曼猜想的失败将在素数分布中引发混乱。”

泥淖中的钻石

这就引出了准黎曼假设（quasi-Riemann hypothesis）。黎曼假设断言所有非平凡零点都位于实部为 1/2 的竖线上，而“准”版本只要求证明这些零点全部落在一条比已知的 0 到 1 之间的竖直带更窄的带里。带越窄，我们对素数分布的了解就越多。

OpenAI 公布了准黎曼假设证明的两个不同版本。第一个版本 dated September 30, 2026（2026 年 9 月 30 日），声称证明了所有非平凡零点必定位于 1/8 和 7/8 之间，并已用 Lean 编程语言完成形式化验证。第二个版本在近一周后完成（尚未形式化验证），声称证明了一个较弱的结果：零点的实部必定介于 1/12 和 11/12 之间。不过，第一篇论文长达 199 页，第二篇则只有区区 49 页。

和近期许多 AI 生成的成果一样，这两篇论文“写得一塌糊涂（按这种水平投任何数学期刊都会被直接拒稿），”Radziwiłł 在一封邮件中说，“无论论述还是清晰度，都远远达不到我们这个领域的标准。”于是数学家们放下 7/8 那篇，集中精力研究 11/12 这篇——两者用的技术相近，结论的重要性也差不多。“大家主要看 11/12 的结果，就是因为它更短，”Radziwiłł 说。

巧合的是，在 OpenAI 于 10 月 6 日发布的 722 篇论文中，只有这篇 11 月 12 日的成果经过人工编辑。OpenAI 未回应外界关于编辑者身份以及为何仅此篇论文在发布前获得人类专家把关的质询。面对《Quanta》的提问，该公司表示：“这篇论文是 OpenAI 全体成员共同工作的成果。”

发布后的两周里，数学家们一直在深入研读这篇论文。普林斯顿大学著名的数论学家Peter Sarnak 决定调整本学期正在讲授的一门课程，专门用来研究这篇论文。Radziwiłł 称，他如今已能在半页纸内概述证明的核心论点，而其他数学家撰写的更详尽版本篇幅则在七至十三页之间。（截至发稿，这些文章尚未公开发表，但已在小范围内私下传阅。）专家们普遍认为该结果正确，且其新颖性在于它将数论中长期存在的若干思想巧妙结合在了一起。

几十年来，Sarnak 一直主张数学家应将 Zeta 函数视为更广泛函数家族的一员，进而证明关于该家族的命题。滑铁卢大学的Michael Rubinstein 指出：“但此前一直不明确具体该怎么做，也不清楚应关注哪一类函数家族。”

事实证明，Sarnak 的直觉是对的。只不过 OpenAI 模型识别出的那个函数家族此前被忽视了。罗格斯大学数学家Henryk Iwaniec 在 2002 年曾努力证明黎曼猜想，并识别出多个紧密相关的函数家族，可惜差点就发现这个特定的家族。

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找到合适的族需要一种被称为 metaplectic 形式的冷门数学对象，Dunn 在过去五年里一直在研究这个领域。“没人料到会是这个结果，”他说。他补充道，metaplectic 形式在数论中此前并不常见，“所以我希望这个美丽而深奥的理论能获得它应有的关注。”

令 Dunn 和 Radziwiłł 惊讶的是，他们在 2021 年证明的一个 公式 成为了证明的关键组成部分（当然还结合了众多其他数学家的成果）。Radziwiłł 表示，回过头看，研究这一系列工作所属数论分支的数学家们此前都犯了一个错误，他们误以为自己的工具不足以解决准 Riemann 假设。他们原本确信，要证明该假设需要借助数论另一个完全不同分支的技巧。而 AI 模型认为他们的工具可能已经足够的“信念”提供了至关重要的视角。“那是一个相当大胆的看法！”Radziwiłł 说。

数学家们对 OpenAI 的这项工作既感到沮丧又感到兴奋。Sarnak 本人在电子邮件中表示，在人类核对并理解所有细节之前，他不会对这是一个“定理”感到满意。但“普遍的解脱感”确实存在，Radziwiłł 说。不仅是在数论中，在几何学和理论计算机科学领域也有大量成果，准 Riemann 假设的证明将一笔勾销，迅速确立它们为数学真理。

数论学家对这一结果持怀疑态度，认为这套特定的技术组合未必能把 7/8 的界限推进到诱人的 1/2。“在我看来，最可能的情况是：等数学家们充分消化这些新方法、理清它们的各种推论之后，我们距离完整的 Riemann 猜想依然和从前一样遥远，”普林斯顿大学的 Will Sawin 说，“但我不敢完全肯定。”

曼彻斯特大学的数学家 Thomas Bloom 也认为完整的 Riemann 猜想仍然遥不可及。但他补充道：“几周前我们对准 Riemann 猜想也会这么说！事到如今，没有什么能让我感到意外了。”