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Hacker News 8小时前 · 2026-09-13 14:33:49 · 2 阅读

Intel 8087 浮点芯片的微码解析：FSCALE 指令

上世纪 70 年代，浮点运算一片混乱：各家计算机厂商有十几套互不兼容的运算标准。而且，当时的浮点系统设计以硬件实现简单为先，而不是数学上的严谨性，由此带来了数值稳定性方面的种种问题。1980 年 Intel 推出 8087 浮点协处理器芯片，情况才发生改变——它追求尽可能高的精度，即使是极端情况也不例外。8087 之所以流行，是因为它可以装进 IBM PC，让从电子表格到 CAD 等各类应用中的浮点运算速度提升上百倍。更重要的是，如今大多数计算机所采用的浮点标准，正是源于 8087。

8087 用一种称为微码的复杂底层代码来实现它的指令。我是 Opcode Collective 这个逆向工程小组的一员，最近在解析这些微码上取得了一些进展。本文将分析 8087 的其中一条指令——FSCALE——的微码，并说明它是如何工作的。FSCALE（Floating-point Scale，浮点缩放）指令提供了一种把数值按 2 的幂次快速缩放的方法，比乘法快得多。我原本以为 FSCALE 是条简单到近乎平凡的指令，理解和讲解起来都应该轻而易举。剧透一下：它并不简单。FSCALE 用了超过 140 条微指令和三层子程序调用，来处理各种特殊情况。不过，FSCALE 的微码恰好展示了 8087 的许多有趣部件，比如移位器、加法器和指数转换器，还揭示了一个隐藏特性，希望你会觉得有意思。

为了研究微码，我拆开了一颗 8087 芯片，用显微镜拍摄了高分辨率照片。芯片中央是巨大的微码 ROM，存放着控制芯片的 1648 条微指令。左侧的微码引擎负责逐条执行微码，处理跳转和子程序调用。芯片的下半部分是"数据通路"，即执行浮点运算的电路；它分为两部分：16 位的数据通路处理数值的指数，64 位的数据通路处理数值的尾数（也称小数部分）。

英特尔 8087 浮点单元芯片的裸片，标注了主要功能模块。裸片尺寸为 5mm×6mm。点击查看大图。英特尔 8087 浮点单元芯片的裸片，主要功能模块已做标注。裸片尺寸为 5mm×6mm，点击查看大图。

放大芯片底部，可以看到数据通路电路；下文高亮显示了相关部分。1 指数 ROM 存储着各种常量。 指数转换器是一种专用电路，用于检测特殊值、检查指数，并在不同的指数格式间进行转换。2 移位器是一个大型组件，允许对 64 位3数值进行任意位数的左移或右移。（我曾撰文介绍过 8087 的移位器电路这里。） 加法器是 8087 计算的核心；它在乘法、除法和开方运算中通过循环使用。 B 寄存器保存加法器的一个输入，而多个源可以提供另一个输入。和寄存器保存加法器的输出。 八个堆栈寄存器和临时寄存器用于存放浮点数。

8087 数据通路的特写，展示了 FSCALE 指令使用的功能模块。8087 数据通路的特写，展示了 FSCALE 指令使用的功能模块。

8087 的细节

本节将介绍 8087 中几项对 FSCALE 微代码至关重要的特性。 使用 8087 时，程序员将数值存入其八个内部寄存器，这些寄存器按堆栈组织。每个寄存器保存一个 80 位的浮点数。 为优化性能，堆栈中每个数值都关联一个“标签”（tag），该标签对程序员大多不可见。4 标签将数值标记为有效（valid）、特殊（special）、零（zero）或空（empty）。 正常的浮点数值标记为 有效。若浮点数值是无穷大、非数（NaN）或非规格化值，则标记为 特殊。 零值标记为 零。 最后，若寄存器为空（例如数值已出栈），则该寄存器标记为 空。

8087 还拥有一些内部使用的临时寄存器：tmpA、tmpB 和 tmpC。 与堆栈寄存器类似，tmpA 和 tmpB 也是 80 位寄存器，并附带两个标签位。然而，tmpC 仅保存 64 位尾数。

8087 支持多种数据类型：不同大小的浮点数、整数以及二进制编码十进制数。 但在内部，所有数据均存储为一种称为“临时实数”（temporary real）的 80 位浮点数。在本文后续内容中，我将只讨论临时实数。 一个数字由三部分组成：符号位、15 位指数和 64 位尾数（即小数部分）。 通常情况下，浮点数由 符号 × 尾数 × 2exponent 表示。 尾数是一个 64 位二进制数，形式为 1.bbb...： 以 1 开头，接着是小数点（二进制的点，相当于十进制的小数点），然后是剩余的比特位。5 浮点数的实用之处在于其范围极广，从极小值到天文数字都能覆盖，这得益于指数，其范围从 -16382 到 16383。 一个重要细节是，存储的指数加上了 16383 的“偏置”（bias）。因此，即使实际指数为负，存储的指数始终为正。6

The 80-bit temporary real format. The triangle indicates the binary point, analogous to the decimal point. From the Intel Numerics Supplement.80 位临时实数格式。三角形表示二进制小数点，类似于十进制的小数点。图片来源：Intel Numerics Supplement。

8087 支持几种以特殊指数表示的特殊数值类型，如下所示。零和无穷大都分正负两种。"非数"（NaN）表示没有意义的值，比如 0/0 或 sqrt(-1)；NaN 的表示形式有很多种，并不是单一的一个值。此外，8087 还支持非规格化（denormalized）和非规范化（unnormalized）数值，即有效数字没有前导 1 的极小数值。

The encoding of special values. Based on Table S-31 in the Intel Numerics Supplement, but highly simplified. The "x" bits are arbitrary, as long as they don't conflict with another type.特殊数值的编码方式。根据 Intel Numerics Supplement 中的表 S-31 绘制，并做了大幅简化。"x" 位为任意值，只要不与其他类型冲突即可。

8087 拥有一套复杂的异常处理机制，包含六种异常类型，用于指示算术运算是否出错。其中最严重的是“无效操作”异常，表示运算本身无意义，例如 0/0 或 ∞-∞。该异常也涵盖对空寄存器的访问（如堆栈溢出或下溢）以及对 NaN 值的操作。此外，如果数值过大无法存储，会触发溢出异常；数值过小则触发下溢异常；除以零（不包括 0/0）会触发除零异常。非规格化操作数异常表示结果太小，无法以规格化数值存储，但可以以非规格化数值形式保存。最后，精度异常表明数值无法精确表示，必须进行舍入。（精度异常非常普遍，即便是 1/10 也会产生此类异常。）

8087 通过控制寄存器中的位，对每种异常类型提供细粒度控制。如果某异常被设为未屏蔽状态，8087 会向 8086 处理器发送中断，由软件处理该问题，例如终止程序或记录错误日志。相反，如果异常被设为已屏蔽，8087 将尽可能继续执行。例如，无效结果会被替换为 NaN，而溢出或除零结果则会被替换为无穷大。精度异常则会导致舍入。屏蔽异常的意义在于让计算得以继续，提供尽可能准确的答案；在大多数情况下，这正是程序员所期望的。

这些特性使 8087 既灵活又精确，但也让微代码变得更加复杂，因为必须妥善处理各种特殊情况的组合。

8087 的微代码

执行一条 8087 指令可能需要数百个内部步骤来计算结果。这些步骤通过微指令实现的微代码来完成，每条微指令指定算法中的一个具体步骤。（需注意指令的两个层级：程序员使用的汇编语言指令，以及芯片内部未公开的低级微指令。）微代码 ROM 中存储了实现 8087 指令集的 1648 条微指令。我正在与 Opcode Collective 合作，逆向工程这些微指令，以全面理解微代码结构（链接）。

8087 的微指令比较复杂，涉及诸多边界情况和临时函数，这里先做一个简化的概述。 每条微指令由 16 位组成，结构如下所示。 前 3 位指定微指令的类型，从而决定其余各字的含义。 第一种类型是传输操作，用于将数据从一个内部寄存器传到另一个。 两个字段分别指定源和目标，剩余的 3 位则用于处理各种特殊情况。 第二种是移位操作，利用桶形移位器对数值进行左移或右移。 第三种微指令控制加法器（也可以执行减法）。 杂项指令包括栈指针操作、状态标签修改、异常处理和子程序返回。 远跳转和远调用微指令会跳转到固定列表中的目标微地址，执行跳转或子程序调用。 条件字段允许根据多种条件执行有条件的跳转/调用/返回，最后一位用于反转该条件。 局部跳转则是相对于当前位置跳转到附近的微指令。

Structure of an 8087 micro-instruction.8087 微指令的结构。

FSCALE 的微代码

当 8087 开始执行一条指令时，指令译码器电路会确定该指令对应微代码的起始地址。 这个 11 位地址被加载到微代码引擎中，微代码便开始执行。7 下方展示了 FSCALE 的微代码，其起始十进制地址为 748。8

FSCALE 的思路很直白：想对一个浮点数乘以 2N（N 为整数）， 只需把 N 加到该数的指数上。 这比完整的浮点乘法运算快得多。但 FSCALE 的微码出人意料地复杂，用到了好几个微码子程序。简单来说，微码先检查参数是否为零，再处理其他特殊参数，然后把缩放参数转成整数加到指数上，最后处理可能的溢出或下溢。

更详细地看， 微码例程一开始会把栈顶（st(0)）的第一个参数移入 tmpA 临时寄存器。 如果该参数为零，例程立即返回（也就是说，0 乘以任何数的 2 的幂——哪怕是 NaN——结果都是 0）。 接着，栈中的第二个值（第二个参数）被移入 tmpB 临时寄存器。 同样，如果这个值是 0，代码直接返回，所以乘以 20 不会改变原值。9 然后选取一个常量值；选取常量和使用常量是两条独立的微指令。 （8087 有专门的 ROM 分别存放 16 位指数常量和 67 位尾数常量，这里用的是指数常量。） 正常情况下，执行会跳转到地址 #0763，跳过对子程序 SPECIAL_TMPS 的调用。

FSCALE:
#0748 st(0) -> tmpA        从栈顶取输入参数
#0749 jmp #0776 if tmpA:tag ZERO 若为 0 则退出
#0750 stackPtr++
#0751 st(0) -> tmpB        从 stack(1) 取缩放参数
#0752 stackPtr--
#0753 jmp #0776 if tmpB:tag ZERO 若为 0 则退出
#0754 expconst 0x403e      常量 403e：指数偏移，用于转换为整数
#0755 jmp #0763 if not tmp empty/special/div
#0756 call SPECIAL_TMPS    特殊处理
#0757 jmp #0762 if flag
#0758 jmp #0761 if not tmpB:tag SPECIAL
#0059 except:invalid       无效异常，使用 NaN
#0760 NaN -> tmpA
#0761 jmp #0776 if intr
#0762 jmp #0775 if expConv 若 expConv 置位则返回 tmpA，否则继续
#0763 tmpB:exp -> Breg     正常路径
#0764 tmpB:sign,exp -> expConv ExpConv 将测试 tmpB 的符号
#0765 expConst -> tmpC     常量 403e
#0766 adder: tmpC - Breg cin=1 403e-指数，即转换为整数所需的移位量
#0767 sumreg:frac -> shiftcount 存入移位控制寄存器
#0768 shift tmpB:frac R count byte bit 执行移位
#0769 shift R -> Breg      Breg 保存缩放参数（整数形式）
#0770 jmp #0777 if neg     负 Breg 需单独处理
#0771 adder: tmpA:exp + Breg cin=0 将缩放值加到指数上
#0772 sumreg:frac -> expConv 结果存入 expConv 以便检查
#0773 sumreg:frac -> tmpA:exp 更新指数为求和结果
#0774 call NONNORMAL_RESULT if not exp normal 处理溢出/下溢
#0775 tmpA -> st(0)        将结果写回栈
#0776 RNI                  完成：执行下一条指令
#0777 adder: tmpA:exp - Breg cin=1 减去 Breg
#0778 jmp #0772            继续处理

继续第 #0763 行，第二个参数从浮点数转换为整数，这需要几个步骤。 假设参数是 9，其浮点表示为 1.001×23。 尾数位 1000 是“左对齐”的，但要表示整数，这些位需要通过右移变为“右对齐”。 一般来说，如果指数是 n，尾数需要右移 63-n 位。 但别忘了指数有 16383 的偏置值。因此，尾数必须右移 63-(exp-16383) 位，即 0x403e-exp 位。 （这也解释了微代码中出现的常量 0x403e。）

Converting a float to an int by shifting.通过移位将浮点数转换为整数。

在微代码中，减法需要分好几步完成。 在 #0763 处，第二个操作数的指数被移入 B 寄存器（加法器的一个输入端，与 tmpB 完全不同）。10 接着，符号位和指数被移入指数转换器——该电路除了其他功能外，还负责检测溢出。 随后，常量 0x403e（早在 #0754 处已选定）被移入 tmpC 寄存器。 在 #0766 处，加法器被激活，用常量减去指数。11 加法器将结果存入求和寄存器，随后该值被复制到移位计数寄存器，以控制移位器。 这个值指明了将第二个操作数转换为整数所需的移位位数。 在 #0768 处，移位器被激活以执行所需移位，同时调用位移位和字节移位两部分。 与加法器类似，激活移位器和读取结果是两条独立的微指令；结果最终存入 B 寄存器。

FSCALE 指令的核心操作终于在 #0771 处执行：将第二个操作数加到第一个操作数的指数上。 加法器被激活，将 B 寄存器中的值（缩放因子）加到指数上，更新后的值存入 tmpA 的指数位置。 （若缩放因子为负，则通过 #0777 路径执行减法。）12 该值同时被送往指数转换器电路，检查指数是否溢出或下溢；若发生，则调用子例程 NONNORMAL_RESULT。 但在正常情况下，更新后的值从 tmpA 复制到栈顶寄存器 st(0)。 最后，RNI（Run Next Instruction）表示微代码例程结束，指令执行完毕。 因此，即使在最简单的情况下，FSCALE 也需要大约 22 条微指令。

处理空值或特殊参数

如果参数访问了空的栈位置（即栈下溢），或者是一个特殊值（无穷大、非规格化数、NaN），会发生什么？ 这些情况由一个微子程序处理，我把它称为 SPECIAL_TMPS15，因为它处理 tmpA 和/或 tmpB 中的特殊值。 这是一个通用例程，基本算术运算、FSCALE、FTST（测试）和 FPREM（部分余数）都会用到。

SPECIAL_TMPS 的控制流相当绕，因为代码必须对问题排定优先级——比如一个参数是空值、另一个是非规格化数的情况。 这里只做个简要总结，细节见脚注13。 首先，该子程序把所有非规格化数转换为 unnorm。然后检查是否访问了空的栈位置，如果是则触发异常或中断。 接着再次检查两个参数。只要其中一个是 NaN，就触发异常或中断；否则返回一个状态，标明参数的类型。

出乎意料的是，如果两个参数都是 NaN，代码会比较这两个 NaN 并返回较大的那个。 这个行为看起来很怪，但它是文档中明确记载的特性。14 你也许以为 NaN 是单一的值，实际上它是一个庞大的值家族。 设计意图是让程序员用不同的 NaN 值来标记问题发生的位置。比如，可以给未初始化数组的每个位置放一个不同的 NaN，这样就能知道访问的是哪个位置。 不知出于什么原因，8087 的设计者决定：如果对两个不同的 NaN 执行运算，结果取较大的那个。 因此，微码里需要一段代码来检测两个操作数是否都是 NaN 并算出较大者，比较用的是减法（#1518）。

SPECIAL_TMPS (J5):
#1484 调用 SPECIAL_VAL 若 tmpA 标签为 SPECIAL（处理 tmpA 的特殊值）
#1485 xchg tmp（交换寄存器）
#1486 调用 SPECIAL_VAL 若 tmpA 标签为 SPECIAL（处理 tmpB 的特殊值）
#1487 xchg tmp（交换寄存器）
#1488 1 -> flag（默认置 Flag=1）
#1489 若 tmp 非空/非特殊/非除零，则跳转 #1500，否则执行 expConv（处理正常 tmp）
#1490 1 -> expConv
#1491 若 tmpA 或 B 非空，则跳转 #1497
#1492 except:invalid（任一操作数为空则触发无效异常）
#1493 若为比较指令，则跳转 #1525（比较指令不产生 NaN）
#1494 若发生中断，则跳转 #1511（中断未屏蔽则直接返回）
#1495 NaN -> tmpA（中断被屏蔽则置 NaN）
#1496 return（返回）
#1497 若 tmpA 标签为 SPECIAL，则跳转 #1502（处理特殊情况）
#1498 若 tmpB 标签为 SPECIAL，则跳转 #1505
#1499 0 -> flag（除法正常路径：）
#1500 零 -> expConv（返回 flag 0, expConv 0）
#1501 return（返回）
#1502 调用 SPECIAL_VAL（处理 TmpA 特殊值）
#1503 若 flag 不为真，则跳转 #1512（NaN 则跳转，无穷则继续执行）
#1504 若 tmpB 标签不为 SPECIAL，则跳转 #1509
#1505 xchg tmp（处理 TmpB 特殊值）
#1506 调用 SPECIAL_VAL
#1507 xchg tmp
#1508 若 flag 不为真，则跳转 #1521（NaN 则跳转，无穷则返回）
#1509 0 -> flag（清除 flag，准备返回）
#1510 return（返回）
#1511 RNI（以中断结束指令）
#1512 若 tmpB 标签不为 SPECIAL，则跳转 #1522（TmpA 为 NaN，现检查 tmpB）
#1513 xchg tmp
#1514 调用 SPECIAL_VAL（检查 tmpB）
#1515 xchg tmp
#1516 若 flag 为真，则跳转 #1522（tmpB 非 NaN 则跳转）
#1517 except:invalid（无效异常）
#1518 tmpB:frac -> Breg（两参数均为 NaN，寻找较大者）
#1519 adder: tmpA:frac - Breg cin=1
#1520 若加法器符号位为真，则跳转 #1522（判断 tmpA < tmpB）
#1521 tmpB -> tmpA（取较大者）
#1522 except:invalid（无效异常）
#1523 若为比较指令，则跳转 #1525（比较指令不触发中断）
#1524 若发生中断，则跳转 #1511（以中断结束指令）
#1525 1 -> flag（带 flag 置位返回）
#1526 return（J5 结束）

此子程序大量调用了一个辅助子程序 SPECIAL_VAL16 来处理单个参数。该辅助程序将非规格化参数转换为非归一化参数，并根据需要触发异常或中断。此外，它还会标记无穷大输入。

#1485 处用于交换 tmpA 和 tmpB 的微指令硬件设计颇具巧思。它并非在两个寄存器之间物理移动数值，而是通过切换一个触发器来互换 tmpA 和 tmpB 的逻辑含义。也就是说，若触发器置位，对 tmpA 的引用将指向 tmpB，反之亦然。这是微处理器中常见的标准技巧：Intel 8080 的 XCHG 指令便以类似方式交换 DE 和 HL 寄存器；Z80 也利用相同机制在常规寄存器组与备用寄存器组之间执行 EX 和 EXXX 指令。

Intel 8087 芯片封装于 40 引脚双列直插式封装（DIP）中，8080 和 Z80 亦采用相同封装。此照片旨在为密集的微指令内容提供视觉间歇。Intel 8087 芯片封装于 40 引脚双列直插式封装（DIP）中，8080 和 Z80 亦采用相同封装。此照片旨在为密集的微指令内容提供视觉间歇。

处理非正规结果

若将一个极大数值进一步放大，可能引发溢出；若将一个极小数值进一步缩小，则可能产生非正规数或下溢。这些情况将触发溢出、非正规数或下溢异常，若未屏蔽相应标志，还会导致中断。此外，8087 支持四种舍入模式：舍入到最近有效值、向下舍入（趋向 -∞）、向上舍入（趋向 +∞）或向零舍入（截断）。根据舍入模式不同，溢出结果可能为 ∞ 或最大的浮点数；类似地，下溢结果可能为零或最小的浮点数。同时，依据无穷大模式（仿射或射影）的不同，无穷大可以是带符号的或无符号的。因此，FSCALE 微代码必须处理结果的诸多特殊情况。

下面是处理 tmpA 中非规格化结果的子程序。 其中一条有趣的微指令是 update overflow/underflow exceptions，它会在适当时触发异常。 对于大多数异常，都是直接由微指令触发（例如 #0346 处的 except:precision）。 但溢出和下溢异常不同，微码把这项任务交给了硬件。 具体来说，8087 的"指数转换器"电路会根据所选的浮点精度检查指数，判断是否存在溢出或下溢。 微指令再根据这些结果设置溢出和下溢标志位。 有了指数转换器的硬件支持，一个复杂的任务只需一条微码指令就能完成。

NONNORMAL_RESULT (J16):
#0318 若 tmpA:tag 为零，则返回；处理非正常结果
#0319 更新溢出/下溢异常；若指数转换指示，则触发异常
#0320 expconst 0x6000      中断偏置常数 0x6000
#0321 若未中断，则跳转至 #0329
#0322 expConst -> Breg     中断路径
#0323 若为负，则跳转至 #0326
#0324 加法器: tmpA:exp + Breg cin=0 为下溢添加偏置
#0325 跳转至 #0327
#0326 加法器: tmpA:exp - Breg cin=1 为溢出减去偏置
#0327 sumreg:frac -> tmpA:exp 将新指数存入 tmpA
#0328 返回               已中断，故结束
#0329 若为负，则跳转至 #0344     屏蔽的异常
#0330 tmpA:exp -> Breg     下溢
#0331 加法器: 1 - Breg cin=1 非规格化数需移动的位数
#0332 调用 CREATE_DENORM   创建非规格化数
#0333 加法器: zero + Breg cin=0, roundmode 加零以执行舍入
#0334 调用 ADJUST_PRECISION 调整至指定精度
#0335 若 Sum 寄存器为零，则跳转至 #0340 若为零，则按适当符号返回零
#0336 zero -> tmpA:exp     非规格化: 指数为 0
#0337 sumreg:frac -> tmpA:frac 保存非规格化数的尾数
#0338 special -> tmpA tag  标记非规格化为特殊值
#0339 返回
#0340 tmpA 符号 -> 符号锁存 返回 +/- 零
#0341 zero -> tmpA
#0342 符号锁存 -> tmpA 符号
#0343 返回
#0344 NaN/Inf -> tmpA:exp  溢出: 可能返回无穷大
#0345 tmpA:frac -> tmpB:frac 将 tmpA 尾数保存至 tmpB
#0346 except:precision     设置精度异常
#0347 Inf -> tmpA:frac     在尾数中放入无穷大
#0348 special -> tmpA tag  标记无穷大为特殊值
#0349 若未执行舍入或截断，则返回 若向上舍入，则返回无穷大
#0350 1 -> Breg            返回最大浮点数: 向下调整
#0351 加法器: tmpA:exp - Breg cin=1
#0352 sumreg:frac -> tmpA:exp 指数=7fff-1=7ffe
#0353 加法器: zero - Breg cin=1
#0354 sumreg:frac -> tmpA:frac 尾数 0-1 = ff...ff
#0355 norm -> tmpA tag     正常值
#0356 若 tmpB:frac[63]，则返回 除非非规格化，否则返回最大浮点数
#0357 tmpB:frac -> tmpA:frac 返回原始的 tmpA 尾数
#0358 返回

当 8087 发生未屏蔽的溢出或下溢并触发中断时，其行为颇具特色。其设计意图是让中断处理程序知晓指数本应取何值。然而，正确的数值因过大或过小而无法直接填入指数字段（这正是异常发生的原因）。解决方案是加减常数 0x6000，从而得到一个在指数字段范围内的值。中断处理程序只需对该常数执行相反的加减操作，即可还原出正确的指数。代码行 #0322 至 0328 负责执行这一加减运算。

对于被屏蔽的下溢，子程序 CREATE_DENORM 会生成一个非规格化数（denorm）。随后，ADJUST_PRECISION 将该值舍入至指定精度。最后，若该值甚至小到无法表示为非规格化数，则根据符号返回 +0 或 -0。

对于被屏蔽的溢出，8087 根据指定的舍入模式，返回无穷大（Infinity）或最大可表示浮点数。无穷大由全 1 的指数和以 1000... 开头的尾数表示，这些值直接通过晶体管加载到总线上。而最大浮点数则是计算得出的：将无穷大的指数减 1，并将尾数部分视为全 1（即从 0 的尾数借位，等效于全 1）。

辅助子程序：生成非规格化数

8087 一项具有争议的特性是非规格化数（denormals），即比“常规”浮点数更小的数值。回顾一下，浮点数的尾数首位通常置为 1。那么，当指数达到最小值但仍需表示更小的数时该怎么办？8087 允许打破尾数必须以 1 开头的规则，从而生成更小的非规格化数（denorms）。非规格化数显著扩展了数值范围，可使数值范围向下延伸 263 倍。然而，由于高位“浪费”，非规格化数的精度较低。此外，由于需要特殊处理，涉及非规格化数的计算速度会大幅降低。

Example of a normal number, reduced by a factor of 8, resulting in a denormal.一个规格化数字缩小 8 倍后变成非规格化数的示例。

上图展示了一个具有最小可行指数的规格化数字（-16382，偏置后为 1）。将它除以 8（即缩放 -3）就会产生非规格化数，因为指数已经无法再减小了。此时只能把有效数字右移 3 位，并将指数替换为特殊值 0，表示这是一个非规格化数。

在 8087 中，非规格化数由一个微码子程序生成，我把它称为 CREATE_DENORM；它被许多算术运算调用，而不仅仅是 FSCALE。该子程序接收一个规格化数和一个移位量，通过移位（如上例所示）生成非规格化数。微码（如下）使用指数转换器检查移位量是否达到 64 或更多。如果是，移位后将不剩任何有效位，直接返回零；否则，将数值右移，并把非规格化结果存入 B 寄存器。

CREATE_DENORM (J20):
#0522 sumreg:frac -> expConv Create denorm
#0523 sumreg:frac -> shiftcount Number of bits to shift
#0524 jmp #0528 if exponent[6:14] == 0 Jump if < 64
#0525 zero -> Breg         No bits left, use zero
#0526 shift tmpA:frac L 0 bytes, 0 bits Run through shifter?
#0527 jmp #0532
#0528 shift tmpA:frac R count byte bit Shift right by the specified amount
#0529 shift R -> Breg      Result to Breg
#0530 shift tmpA:frac L ~count byte bit Now shift back for sticky test
#0531 NOP                  Wait for shifter
#0532 rounding(h) -> Breg[grs] Store the three rounding bits in the Breg
#0533 return

那为什么随后要把数值左移（#0530）？ 这样做是为了获取舍入位。 8087 的一条核心原则是保证舍入正确，而这比看起来要难得多。 为了决定如何向上舍入一个数，你需要跟踪数量庞大得令人难以置信的位。 例如，计算 1 + 0 并向上舍入，结果是 1。 但如果你计算 1 + 2-10000 并向上舍入，得到的浮点数会比 1 略高。 问题在于，在不舍入的情况下，如何区分这两种和而不存储成千上万个位？

诀窍在于 8087 保留了三位用于舍入：守护位（guard）、舍入位（round）和粘滞位（sticky）。 如果考虑尾数右侧的位“尾巴”，守护位是尾巴中最高位，其次是舍入位。 粘滞位很特殊：它是尾巴中剩余所有位的 OR 结果，指示其中是否任何一位为 1。 因此，1 + 2-10000 的粘滞位被置位，而 1 + 0 没有，使得两个值可以以不同方式向上舍入。 为了生成粘滞位，8087 使用了一个非常大的 64 位 NOR 门，并行检测尾巴位。

一个示意图，展示了守护位、舍入位和粘滞位如何从右移中计算得出。此示例中的数字与前一个示例不同。一个示意图，展示了守护位、舍入位和粘滞位如何从右移中计算得出。此示例中的数字与前一个示例不同。

当数值向右移位时（例如生成非规格化数时），右侧的位会丢失。为了生成舍入位，数值会向左移位，保留最终将被丢弃的尾部所有位，同时丢弃最终有效数字中的位。最高两位分别进入保护位（guard）和舍入位（round），剩余位通过逻辑或运算生成粘滞位（sticky）。17 上图是该过程的示例。假设数值向右移位 4 位，尾部位 abcd（至少是 d）会在移位中丢失。舍入位是通过将原始有效数字向右移位 59 位（即 4 的补码）来计算的。第 62 位（a）成为新的保护位，第 61 位（b）成为新的舍入位，剩余 64 位的逻辑或结果成为新的粘滞位。（注意，原有的保护、舍入和粘滞位也会参与逻辑或运算，因此不会丢失。）将第一次移位后的有效数字与第二次移位产生的舍入位合并，即可得到期望的结果。

辅助子程序：调整精度

尽管 8087 支持三种长度的浮点数，但它使用 80 位“临时实数”执行所有计算。在指令结束时，结果会被转换为所需的长度。（因此，使用较短的浮点数通常不会让指令变得更快。）一个微代码子程序（我称之为 ADJUST_PRECISION）将结果转换为 8087 控制字中指定的精度，并使用指定的舍入模式。大多数算术指令都使用此子程序。

The 8087 supports three types of real numbers. From the Intel Numerics Supplement.8087 支持三种类型的实数。引自 Intel 数值补充说明。

第一条代码路径处理 temporary real（精度为 64 位）。控制字可以指定四种舍入模式之一。但对特定的有效数字来说，实际只有两种操作可选：要么向下舍入（直接截断），要么向上舍入（截断后加 1）。这个判断由复杂的硬件电路完成——它会检查舍入位、舍入模式和符号，决定该向上还是向下舍入。这样设计简化了微码，但让硬件变得更复杂。微码执行条件返回：如果有效数字不需要向上舍入，就直接返回；否则通过带进位的加 0 操作给有效数字加 1。接着检查是否溢出，若溢出则把值替换为 Infinity，并设置一个特殊标志位。18

ADJUST_PRECISION (J11):
#0299 jmp #0306 if not precision64
#0300 return if not round up, update CC1 更新条件码，可能直接返回
#0301 adder: sumreg:frac + 0 cin=1 加 1 实现向上舍入
#0302 return if not sumreg[64]
#0303 Inf -> sumreg:frac,sign 溢出时返回无穷大
#0304 2count++             设置特殊标志位
#0305 return
#0306 23/52 -> shiftcount  短实数或长实数：获取相应的移位量
#0307 shift sumreg:frac,rnd L count byte bit sticky 移位以生成舍入位
#0308 NOP                  等待移位器完成
#0309 rounding(H) -> sumreg[grs] 保存舍入位
#0310 shift sumreg:frac R ~count byte bit 右移去掉多余的位
#0311 shift R -> sumreg:frac
#0312 jmp #0314 if not round up, update CC1 更新条件码
#0313 adder: sumreg:frac + 0 cin=1 视情况向上舍入
#0314 shift sumreg:frac L ~count byte bit 左移重新对齐
#0315 shift L -> sumreg:frac,sign
#0316 return if not sumreg[64] 未溢出则返回
#0317 jmp #0303            返回无穷大

当返回较低精度（short real 或 long real）时，代码会更复杂，因为需要缩短有效数字。首先，位于 #0306 的代码根据控制字中指定的精度，将移位器加载为 23 或 52，然后向左移位该值，以此生成上一节所述的就位比特。接着，该值向右移位，缩短至目标长度。与之前一样，根据是否需要向上取整，对有效数字进行递增或不递增。最后，该值再向左移回，使有效数字的最高有效位位于左侧。同样地，如果向上取整导致溢出，则返回无穷大。

一个奇特的特性是，带有“向上取整”条件的跳转指令还有一个副作用：它会更新 8087 对程序员可见的条件码寄存器（CC1），以指示结果是向上还是向下取整。也就是说，8087 有额外的电路来检测这一特定条件，并将值加载到条件码锁存器中。奇怪的是，8087 的文档并未描述此条件码操作；英特尔直到 1987 年的 387SX 浮点芯片才对此进行文档说明。19

结论

在 8087 之前，浮点数已经有了悠久的历史。例如，1964 年的 IBM System/360 大型机就支持 32 位和 64 位浮点数。1977 年，AMD 推出了 Am9511 浮点芯片，支持 16 位和 32 位浮点数，以及超越函数。8087 的革命性之处在于，它经过精心设计，旨在尽可能提高数学精度，这主要归功于数值专家 William Kahan。（8087 促成了IEEE 754 标准，该标准如今被几乎所有计算机采用，终结了不兼容的浮点标准纷争。）

8087 最终变得极其复杂，它包含三种不同大小的浮点数、四种大小的整数、四种舍入模式、无穷大模式，一组可屏蔽或不可屏蔽的异常，非规格化和未规格化数值，带符号和无符号的无穷大，带符号的零，以及整个 NaN（非数）家族。这些特性相互组合，产生了大量的边界情况。8087 通过专门的电路和错综复杂的微代码来处理这种复杂性。

8087 到底有多复杂？对于没有 8087 芯片的用户，Intel 销售了一个 8087 支持库，它能精确模拟 8087 的指令（但速度慢得多）。模拟器需要 16K 字节的 8086 代码，在当时一个完整的 BASIC 解释器只需 8K 的情况下，这相当庞大。换个角度看，8087 的硬件大幅减少了所需的软件量：8087 本身使用了 3.3K 的微代码，而模拟器在 8086 代码中则用了 16K。

我计划继续逆向工程 8087 的微代码；有关更新，请通过 Bluesky（@righto.com）、 Mastodon（@[email protected]） 或 RSS 关注我的动态。 我一直与 "Opcode Collective" 的成员一起研究这项工作，特别是 Smartest Blob 和 Gloriouscow，他们负责将 ROM 映像转换为微代码数据并对内容进行了深入分析。 更多资料请参见 GitHub 上的 8087 仓库。

注释与参考

  1. 8087 的专利文件提供了一些硬件细节，但不幸的是并未涉及微代码。 下方的专利图展示了 8087 的架构；我突出显示了相关部分。小数点总线和指数总线用红色表示。加法器及相关寄存器用黄色表示。（对于减法，B 寄存器选择器会选择补码。）移位器用绿色表示。指数常数 ROM 和指数转换器用橙色表示。临时寄存器和堆栈寄存器用蓝色表示。

    8087 的架构图。基于专利文档绘制。点击图片（或其他任意图片）可放大。8087 的架构图，基于专利绘制。点击图片（或其他任意图片）可放大。

    ↩

  2. 指数转换器复杂得出人意料，因为 8087 支持三种浮点数格式，指数字段的宽度各不相同（8 位、11 位和 15 位）。而且不同宽度的指数在存储时使用不同的偏置值，所以它们之间的转换并不简单。指数转换器还要针对不同的指数宽度检测上溢和下溢，并处理无穷大、NaN 等特殊值。我打算以后再详细介绍指数转换器。 ↩

  3. 8087 的尾数名义上是 64 位宽，但它额外使用了三个低位用于舍入，分别叫 Guard、Round 和 Sticky。这些位保证数值总能朝正确的方向舍入。数据通路的某些部分还有额外的符号位或溢出位：移位器宽 68 位，加法器宽 69 位。下文大部分地方会忽略这些额外位，仍把数据通路称作 64 位宽。 ↩

  4. 标签通常对程序员不可见，但可以通过特殊操作访问。具体来说，程序员可以把 8087 的状态转储到内存，标签就保存在一个 16 位的"标签字"里。 ↩

  5. 浮点数的外部表示隐含了一个前导 1，只显式存储二进制小数点之后的位，相当于"免费"多获得一位精度。而 8087 内部的 80 位表示则显式保存这个前导 1，以简化计算。 ↩

  6. 指数采用偏移表示的一个原因是，比较两个浮点数值的大小时，可以直接将它们视为有符号整数进行字典序比较，而无需单独分析指数部分。 ↩

  7. 8087 的大部分指令由微代码实现，但少数指令是硬连线的。关于指令译码的更多细节，请参阅 Intel 8087 浮点芯片中的指令译码。 ↩

  8. 我使用十进制地址来表示微代码，因为 Opcode Collective 开始采用十进制地址，现在改变可能会造成混淆。 ↩

  9. 微代码显示，0 乘以任何数，或任何数乘以 0，结果都保持原值不变。我认为设计者在这里采取了捷径，而没有返回“正确”的值。鉴于 8087 规定 0×∞ 为 NaN，在我看来，0×2∞ 也应当是 NaN，因此 FSCALE(0, ∞) 的结果应为 NaN，而非 0。设计者可能做出了合理决定，认为没人真正关心那个晦涩难懂的 FSCALE 指令的边缘情况。对于其他指令，关于非规格化数、次规格化数和零的行为均有文档记录（见 数值补充文档中的表格 S-24 至 S-26），但 FSCALE 被遗漏了。 ↩

  10. 8087 为指数和尾数设置了独立的数据总线，而加法器仅连接到尾数总线，那么指数是如何传递给加法器的？诀窍在于指数总线和尾数总线之间有一个 16 位的网关，允许将指数复制过去。 ↩

  11. 我在此处描述过 8087 的加法器。简而言之，减法是通过在 B 寄存器的值馈入加法器时将其取反来实现的。加法器的进位输入位被置为 1，从而实际上执行了补码减法。 ↩

  12. 为什么微代码需要为加正比例和减负比例设置不同的路径？原因在于数值是以符号位和无符号值的存储方式表示的，而非标准整数所用的补码形式。因此，加法器无法直接执行带符号加法。加法器电路必须被明确指示对 B 寄存器的值取补数，从而执行减法操作。 ↩

  13. 该流程图展示了 SPECIAL_TMPS 子程序。由于路径的分支与汇合，该子程序的结构较为复杂。其中一条棘手的路径是判断是否存在 0、1 或 2 个 NaN 值，并在存在两个 NaN 时取最大值的代码。另一个复杂之处在于异常退出逻辑：若中断未被屏蔽，则触发中断，但比较指令除外。两个返回值通过 flag 和 expConv 返回。

    A flowchart for the SPECIAL_TMPS subroutine. Click for a larger version.SPECIAL_TMPS 子程序的流程图。点击查看大图。

    下文总结了 SPECIAL_TMPS 的行为。它通过 flag 触发器（flip-flop）和指数转换寄存器（expConv）返回状态。其操作如下：

    输入结果flagexpConv
    emptyNaN，异常11
    NaN（较大的）NaN，异常11
    infinityinfinity01
    denormunnorm10
    div abnormal无变化00

    （最后一行表示除法计算过程中的异常值；我仍在研究此问题。） ↩

  14. 指导 8087 开发的 William Kahan 教授曾感到失望：一些浮点特性因为恶性循环而无人使用——这些特性缺乏良好的编译器支持，程序员因此不去使用，编译器开发者又以需求不足为由拒绝实现支持。用多个 NaN 值来记录 NaN 是如何以及在何处产生的，就是一个缺乏软件支持的例子。关于 NaN 及其他问题的详细讨论，可参见《IEEE 754 二进制浮点运算标准现状讲义》。 ↩

  15. 8087 大量使用微子程序，为微码子程序调用提供了 6 级深度的栈。微码跳转和子程序调用的地址来自一张跳转表，其索引取自微指令中的 6 个位。我们当初图省事，直接按索引把跳转表的条目命名为 J0、J1 等等，后来弄清含义时会陆续改成更有意义的名字。至于微指令的名称，Intel 官方用了什么名字我们无从得知（这点和 8086 不同），这些名字是我起的，参考了 Gloriouscow 的反汇编中的命名。 ↩

  16. 一个名为 SPECIAL_VAL 的子程序负责处理非规格化数、无穷大和 NaN。 （该子程序主要供 SPECIAL_TMPS 使用，但也被 FRNDINT（舍入到整数）和 FSQRT 调用。） 首先，子程序检查 tmpA 的指数；如果指数为零，则表示该值为非规格化数。 （该值也可能为零，但此前已处理过。） 若条件成立，则设置 denorm 异常标志。 FCOM 等比较指令对非规格化数的处理方式不同，此处暂且忽略。 位于 #1576 的代码检查 denorm 是否触发了中断；若是，指令将以中断结束。 若该中断被屏蔽，代码通过修改标签为 norm 并将指数改为 1，将非规格化数转换为未规格化数（由于存在指数偏置，这对应着一个极负的、最小有效值）。 子程序的执行结果通过一个特殊的标志触发器返回。

    SPECIAL_VAL (J12):
#1572 tmpA:exp -> sumreg:frac 处理特殊值
#1573 jmp #1581 if not Sum register is zero 测试指数是否为非规格化
#1574 except:denorm
#1575 jmp #1577 if compare instruction 比较指令无异常
#1576 jmp #1571 if DE (denormalized) interrupt RNI if exception
#1577 norm -> tmpA tag     处理非规格化数：标签为空？还是有效？
#1578 1 -> tmpA:exp        转换为未规格化数
#1579 0 -> flag            清除标志
#1580 return
#1581 shift tmpA:frac L 0 bytes, 1 bits 移位以检查是无穷大还是 NaN
#1582 shift L -> sumreg:frac
#1583 jmp #1579 if not Sum register is zero 为 NaN 清除标志
#1584 1 -> flag            为无穷大设置标志
#1585 return

    在 #1581 处，代码检查该值是无穷大还是 NaN。 有趣的是，此测试并非直接执行，而是通过对值进行移位操作来实现。 回想一下，无穷大的尾数为 10...00，而 NaN 至少还有一个额外的 1 比特位。 代码将尾数向左移位一位；若结果为零，则指示无穷大；若结果非零，则指示 NaN。 与之前一样，结果通过 flag 触发器返回。 ↩

  17. 计算舍入位的逻辑比描述的要复杂得多。根据 expConv 的取值，有两条微指令的行为略有不同，这里就不展开讨论了。 ↩

  18. ADJUST_PRECISION 子程序在尾数向上舍入溢出时似乎会返回无穷大，但我对此并不完全满意。 例如，1.111... 应该舍入为 2，而不是无穷大；尾数溢出了，但这并不意味着整个浮点数溢出。 推测这个问题在其他地方得到了修正。 ↩

  19. 我不清楚 Intel 为何没有记录“条件码指示数值是向上还是向下舍入”这一特性。 8087 的文档对边缘情况的描述非常详尽；通常，当我发现奇怪的电路时，都能在文档中找到一行解释其存在的理由。 也许条件码特性存在 Bug，所以干脆不予记录？ 或者这个特性是故意隐藏起来，用来陷阱那些复制该芯片的竞争对手？（Intel 曾在 8086 中设置过一条秘密指令以此目的，但 NEC 版本的 8086 没有这条指令，这让 Intel 的律师们颇感失望。） 又或者是 Intel 不确定是否要在后续版本中支持该特性？（这也是 8085 处理器部分指令未被记录的原因。） 目前，这仍是一个谜。 ↩

原始来源： Hacker News

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