AI接连刷新素数间隔纪录，为何最后的2仍遥不可及？

本文来自微信公众号： 返朴 ，作者：嘉伟

3和5，5和7，11和13……这些相差2的素数对被称为“孪生素数”。一个看似简单的问题困扰了数学界上百年：孪生素数是否有无穷多对？这就是著名的孪生素数猜想。我们至今还无法给出确切答案，但已经能够证明：存在无穷多对素数，它们之间的间隔不会超过某个固定常数。这个常数能压到多低，也就成了逼近孪生素数猜想的一项重要尺度。

十余年来几乎纹丝不动的素数间隔纪录，在短短几天里从246接连推进到240、212、186。AI突然闯入这个百年数学难题，也让一个更根本的问题重新浮现：为什么数学家已经能把素数间隔逼得如此之近，却始终跨不过最后的“2”？

一部分答案，藏在一把已有两千多年历史的“筛子”里。从Brun筛、GPY筛到Maynard–Tao筛，筛法早已不再是简单地“划掉合数”。本文将直观解释现代筛法究竟在“筛”什么，它如何一次次刷新素数间隔纪录，以及为什么把纪录继续向下压，与真正抵达“2”，可能隔着一道方法上的鸿沟。

本文收录于合集：前沿追踪

孪生素数猜想和哥德巴赫猜想一样表述浅显，连十来岁的孩子也能听懂，却是内涵深刻、极其困难的数学问题。

1849年，法国数学家Alphonse de Polignac提出：

对任意一个正偶数n，都存在无穷多个大小恰为n的素数间隙。换句话说，存在无穷多对相邻素数，它们的差正好是n。

当n=2时，这就是著名的孪生素数猜想。

这一猜想至今尚未在任何具体的n上被完全证明或否定。2013年，经历坎坷的传奇数学家张益唐取得了突破性成果，他证明：存在某个小于7000万的n，使得素数间隙为n的情形出现无穷多次。同年，詹姆斯·梅纳德（James Maynard）通过独立发展的新方法取得了进一步突破，证明存在无穷多对相邻素数，其间隙不超过600。到2014年4月14日，陶哲轩（Terence Tao）等人推动的多人协作数学项目“Polymath 8”进一步将上界降至246。然而此后十余年，这一纪录便陷入长期停滞。人们不禁开始相信，现有数学工具的潜力可能已达到极限。

与此同时，数学家们也看到了另一种诱人的可能：若假设Elliott–Halberstam猜想成立，则上界可以进一步降至12，若其更强的推广形式成立，甚至能降低到6（Elliott–Halberstam猜想是解析数论中的一个重要未解问题，它断言素数在算术级数中的分布具有极强的均匀性）。

今年8月的最后一天，奥地利青年数学家Julia Stadlmann宣布，将无条件上界从246缩小至240[1]。她的工作延续了Polymath8的研究思路，继续打磨经典的GPY筛法。关键在于将Bombieri–Vinogradov定理与近年来关于光滑模数的更强均匀分布估计相结合，进一步挖掘了现有筛法的潜力。

图1伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学系Doob研究助理教授Julia Stadlmann|图源：math.illinois.edu

就连笔者这样的外行，在读过Julia Stadlmann的论文后，也看出了进一步优化权重的空间！当时我在微博上推测，上界至少可以再降到220左右；随后便开始让AI以半试错、半分析的方式精炼参数，尝试给出更好结果。

不过，科技企业的动作更快。9月4日凌晨，陶哲轩发帖感叹：“就在今天，我们目睹了令人无语的一幕：至少三家不同的AI公司争先恐后地宣布，各自改进了素数有界间隙结果。”

当天是OpenAI预定发布最新模型GPT-6 Astra的日子，但凌晨前后OpenAI、Anthropic、xAI的服务突然都出现了连接故障。有网友戏称，莫非GPT-6 Astra让我们进入了科技奇点？

人工智能数学初创公司Axiom恰在此时宣布，他们在AI辅助下，优化Julia Stadlmann的方法，进一步将间距缩至212。

Axiom的工作在网上引起一片赞叹之声。但是没过多久，OpenAI刚“重新连上网线”，便宣称他们的GPT-6 Astra早在内部测试中就已将这一上界缩小到186。而且这一结果还是独立于Julia Stadlmann的工作取得的。

图2丨图源：OpenAI

笔者非常赞同陶哲轩对此事的评论：我很庆幸，Julia Stadlmann能赶在这个问题被（AI）“污染”之前及时完成她的分析。因为从她的论文中可以很容易地汲取许多洞见……设想另一种并未发生的情形：如果科技企业率先发布AI生成的证明（且没有专家撰写的说明来帮助人类“消化”），那Stadlmann的工作就会半途而废，那些洞见也将被埋没。

此外有一个奇妙的巧合：历史上，孪生素数就是少有的被用于现代商业炒作的数学知识，它不仅曾被科技巨头拿来制造商业噱头，一次相关计算甚至还意外揭出了英特尔处理器的硬件漏洞，最终让英特尔付出了数亿美元的代价。

孪生素数确实不多，但也没那么少

众所周知，所有正整数的倒数之和是发散的。令人吃惊的是，素数虽然远比整数稀疏，但把所有素数的倒数加起来，其和竟然同样发散。

不过，由于越往后每个素数的倒数越小，而且素数分布越来越稀疏，这个和的增长速度，慢到了反直觉的程度（对数的对数）。目前人类已知的所有素数，把它们的倒数加在一起，也没有超过5。实际上，即使到了人类文明的尽头，那时所有已知素数的倒数之和，或许仍然不会大于5。

1919年，挪威数学家Viggo Brun证明了或许是数学史上第一个关于孪生素数的重大结果：

所有孪生素数的倒数之和是收敛的。这意味着，如果把(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+⋯一直加下去，它最终会趋近于一个有限值，后人称之为Brun常数（Brun’s constant,B₂）。

这大致意味着孪生素数远比全部素数稀疏。但另一方面，这个结论无法证明孪生素数至多是有限对——无穷级数也可以是收敛的。

Brun常数的确切值未知，但计算表明在1.90216左右。计算非常困难，因为收敛速度极慢。现代计算机已将孪生素数的搜索范围扩展到1016以上。

到目前为止，已知最大的一对孪生素数是2996863034895×21290000±1。

加拿大电信巨头北电网络（Nortel Networks Corporation）2009年申请破产保护后，陆续出售旗下资产。其中6000多项专利及专利申请被推上拍卖台，涉及无线通信、数据网络、语音、互联网、半导体等关键技术。这场拍卖吸引了谷歌、苹果、微软等科技巨头竞逐。

谷歌在拍卖中曾以1902160540美元出价，这个数字就是常数B₂的前几位数字。谷歌在整个拍卖过程中采用“数学常数竞价策略”，虽然没能赢下拍卖，但赚足了眼球。

此外，正是在计算这个常数的过程中，英特尔奔腾处理器的FDIV漏洞被意外发现，并最终演变成一场著名的公关灾难。

1994年，数学家Thomas R.Nicely在进行计算数论研究（计算B₂）时发现结果异常。随后查明，问题出在英特尔Pentium处理器的浮点运算单元（FPU）——其硬件查找表中缺失了几个条目，导致某些除法运算出现严重误差。

1994年11月，这一漏洞经媒体报道后迅速引发广泛关注。同年12月IBM发布研究，认为问题影响严重。12月20日，英特尔宣布召回并更换所有存在缺陷的Pentium芯片。1995年1月英特尔宣布，这场风波将让公司付出约4.75亿美元的成本。

图3一款1996年制造的100 MHz奔腾（ICOMP=815）处理器丨图源：Pentium-Wikipedia

实际上，对普通用户而言，这一错误极难遇到。当时有估算认为，如果随机选取一次浮点除法运算，出现错误的概率约为90亿分之一。但真实程序中的概率取决于操作数的分布，因此这个数字并不能直接代表普通用户实际遇到错误的概率。

寻找素数的“魔法”：现代筛法

Brun之所以能够证明那个奇妙的结论，靠的是对古老数论工具的彻底革新——他创造了Brun筛。事实上，筛法是解析数论里最为核心的武器之一；从陈景润研究“几乎孪生素数”，以及距离哥德巴赫猜想一步之遥的“1+2”，到张益唐证明素数间存在有界间隙；从陶哲轩等人推动筛法的发展，到梅纳德开创研究素数间隙的新方法——这些看似不同的成果背后，都能看到筛法不断演化的身影。

但这里有一个令人遗憾的科普传统：无论中外，每当科普作者向大众解释“筛法”时，总会搬出那幅最古老的图景——埃拉托色尼筛法（sieve of Eratosthenes）。在一张无限延伸的纸上，先划掉2的倍数，再划掉3的倍数、5的倍数……这种意象流传了上千年，深入人心，却也在无形中限制了人们对现代筛法的理解。

图4使用埃拉托色尼筛法找出120以内的所有素数。|图源：Sieve of Eratosthenes-Wikipedia

这是一种偷懒，而且是一种极具误导性的偷懒。

用埃拉托色尼筛来理解现代筛法，就像用算盘来理解现代计算机：它让读者误以为，筛法不过是一种聪明的“排除法”，一种在名单上打叉的暴力美学。然而真相是，从Brun开始，筛法就已经不再是机械的“剔除”了。现代筛法并不关心哪一个具体的数是否被划掉；它甚至不需要知道最后“幸存者”是谁。它真正关心的是估计——是计算“还剩下多少”，是把局部信息拼接成全局图景。或者说古代的筛法是在寻找素数；现代的筛法，则是在研究素数“应该如何分布”。

笔者不想重复这个陈词滥调。尽管要在短时间内彻底掌握筛法绝无可能，但我依然希望带读者稍微“往前走一步”。无需硬记复杂的公式，我们只需要借助简单的母函数，再做几次思维上的转换，就能勾勒出现代筛法最核心的灵感与轮廓。

图5笔者制作的动画，演示“筛”孪生素数。

我们先问一个非常具体的问题：

1,2,…,N中，有多少个数既不被2整除，也不被3整除？

当然我们知道答案大约是。但现在故意不去枚举这些数。

定义最简单的母函数：

这个级数中，每一项的系数都是1。所以[xn]F(x)=1（[xn]F(x)表示F(x)中xn项的系数）。

现在考虑一个素数p。

有

注意它恰好把所有

p,2p,3p,…

标记出来。

那么，如果我们做一次简单的减法：

F(x)-F(xp)

此时，这个新函数的各项系数会变成什么样呢？

例如p=2：

于是：

也就是说：

换句话说，这个操作恰好把所有偶数筛掉了，这就是一个筛子。

而且非常有意思，我们根本没有列出偶数再删除它们；我们只是对母函数做了一个操作。

现在再筛掉3的倍数。

我们已经有

对它再做同样的操作：

现在看xn的系数：

n既不是2的倍数，也不是3的倍数：系数是1；

n是2的倍数：第一次减掉；

n是3的倍数：第二次减掉；

n同时是2、3的倍数：被减了两次，但最后+F(x6)把它补回来。

所以最终

这已经是一个完全精确的筛子——古典容斥原理在母函数视角下的完美呈现。

但这里马上出现一个问题：如果有很多素数，我们难道真的要把这个巨大的容斥公式算到底吗？

现代筛法最重要的思想之一恰恰是：不必精确知道每一个交集。只要我们知道它们大致遵循怎样的规律，就可以估计最后剩下多少。

从“筛数字”到“筛结构”

现在来看孪生素数。我们想找n和n+2同时为素数的n，拿一个大于2的小素数p来当“筛子”，去考察某个未知的n。什么情况下候选者会被筛掉？

只要p∣n或者p∣(n+2)，换句话说n≡0(mod p)或者n≡-2(mod p)。

所以对于p>2，模p的p个剩余类（任何数除以一个素数p，只有p种可能的余数，这p种情况在数学里叫“剩余类”）中，有两个是“坏位置”，都会导致n、n+2无法同时为素数。反过来，大约有1-2/p的比例能够逃过素数p造成的筛选。

于是，经过许多小素数的筛选之后，我们自然会得到类似

这样的表达式——如果你假设这些筛子是互相独立的，那么最终同时通过所有筛子的“存活率”，就是把它们各自的存活率乘起来。

这里最值得注意的并不是这个乘积本身，而是背后的思想：

我们没有判断任何一对n和n+2是否构成孪生素数；

我们只研究每一个小素数会淘汰哪些位置，再把这些局部信息组合起来。

这就是现代筛法的精神。

这里还有一个非常重要的陷阱。假设一个数没有小于100的素因子，它是不是素数？当然不一定。例如101×103=10403就是一个合数，但它的两个素因子都大于100。

所以筛法得到的往往首先是没有小素因子的候选者，而不是真正的素数。这些“逃过了小筛子”的合数就是筛法中的一种“假阳性”。这也是为什么筛法往往首先给出的是上界，而不是直接证明某个精确的素数计数公式。

2005年，Daniel A.Goldston、János Pintz和Cem Yıldırım提出了一套著名的方法，通常简称为GPY筛法。他们不直接盯着n,n+2，而是把条件放宽，取一组固定的整数：

h1,h2,…,hk

然后研究n+h1,n+h2,…,n+hk。我们把这个模板套在无数的整数n上“滑动”，不再强求距离为2的孪生素数，而是问，能不能找到无穷多个n，使得这k个位置里，至少有2个是素数？

要在茫茫数海里找素数，几率还是很渺茫。为了让某些n更受关注，GPY筛子给不同n赋予权重，把注意力集中在那些最有可能产生素数的候选者身上，这就是加权筛法——“这个n更值得研究，给它更大的权重。”

问题又转化成一个加权平均问题。这一步非常关键——现代筛法从这里开始越来越不像一把真正的“筛子”，而越来越像一种设计巧妙权重的统计工具。

但GPY筛还是遇到了一堵墙。为了证明存在两个很近的素数，他们需要对素数在不同模数的等差数列中的分布有足够精确的控制。这里出现了一个重要的概念：素数分布的均匀性。

粗略地说，我们希望素数不要在某些模数的某些剩余类中“扎堆”，而应该大致均匀地分布。经典的Bombieri–Vinogradov定理已经告诉我们，素数在相当大范围内确实具有很好的平均均匀性，但它给出的“均匀性水平”大致停在1/2这一条著名的门槛上。

而GPY若想直接得到无条件的有界素数间隙，需要更强的分布信息。这就形成了当时著名的困境：筛子已经准备好了，但输入给它的素数分布信息还差一点。

2014年，张益唐发表论文Bounded gaps between primes[6]。他的突破并不是证明了孪生素数猜想，也不是证明了完整的Elliott–Halberstam猜想。他的真正贡献，是证明了一种足以推动GPY机器运转的、超越经典Bombieri–Vinogradov范围的平均估计。其技术核心涉及素数的相关和、指数和以及Kloosterman和等深刻的解析数论工具。

张益唐的结果公布后，很快出现了另一条令人惊叹的路线。2013年底，英国数学家詹姆斯·梅纳德从大数学家塞尔伯格（Atle Selberg）的塞尔伯格筛（Selberg sieve）独立发展出一种新的多维筛法。与此同时，陶哲轩也独立发展了相近的方法。

梅纳德的核心想法可以非常粗略地概括成重新设计筛权重：让不同位置的除数信息分别参与权重的构造，而不只是把它们合在一起处理。这种多维权重更加灵活，使其不必依赖更强的素数分布估计，也能证明有界素数间隙的存在。

通过更精细的权重设计，可以在这些位置中控制“有多少个是素数”。这就是后来著名的Maynard–Tao筛法。

Maynard–Tao筛法的重要性不仅在于把上界进一步降低，更在于它改变了人们对筛法的认识：有时候并不是必须把素数分布研究得更精确；重新设计筛子的方式，本身就可以突破原来的障碍。

这是筛法史上的一次思想升级。

然而孪生素数猜想仍然在那里

这是孪生素数问题最令人着迷的地方。人类大体上是相信孪生素数猜想成立的，那么应该有无穷多的n和n+2同时为素数。可是筛法存在一个根本困难。

筛子很擅长告诉我们“候选者不能太多”，却很难证明“真正的素数一定还剩下来”。

尤其是当我们需要控制两个或更多线性形式同时为素数时，问题变得异常困难。现代筛法可以非常有效地排除大量“坏情况”，但最后剩下的候选者里面仍然混杂着大量合数。

这就是所谓的筛法中的奇偶障碍（parity problem），它是现代筛法理论中最著名、最顽固的障碍之一。所谓“奇偶”，指的是一个数所含素因子个数的奇偶（重复的素因子也要计数）。

传统筛法所依赖的整除统计信息，往往难以充分区分素因子个数为“奇数”和“偶数”的两类数。例如，真正的素数只有1个素因子（奇数），而两个大素数相乘得到的合数有2个素因子（偶数）。如何把后者彻底排除，正是困难所在。

事实上，陈景润面对哥德巴赫猜想的时候，最终获得了“1+2”——也就是每个充分大的偶数都可以写成一个素数加上一个“至多两个素数的乘积”——无法更进一步的原因，就是奇偶障碍。陈景润认为，“1+2”已经穷尽了筛法的极限，要想更进一步或许需要全新的数学思想。

在孪生素数问题的征途上，虽然如今借助AI已经把上界推进到186，但距离终点2仍然有一道深不可测的天堑。

现代筛法已经发展出了许多非常精巧的分支，其中一个颇具代表性的前沿方向叫仿射筛法（Affine Sieve）。它把传统筛法与群论、动力系统和谱方法结合起来，用来研究一些看似与经典素数问题完全不同的数学对象。例如，一个群作用产生的巨大整数点集，其中的某些点可能具有特殊的素数性质。数学家希望知道：在这样复杂的结构中，究竟还能不能找到无穷多个素数，或者至少找到无穷多个“几乎素数”。

而在更远的地方，还有一个更加大胆的猜想。

设f1(x),f2(x),…,fk(x)是一组非常数、不可约且最高次项系数为正的整系数多项式。如果不存在显而易见的局部障碍——即不存在某个素数p，无论取什么整数n，p总会整除其中至少一个fi(n)——那么，Schinzel猜想H（Schinzel's Hypothesis H）预言：

应该存在无穷多个正整数n，使f1(n),f2(n),…,fk(n)同时都是素数。

这听起来几乎不可思议，但它包含了许多著名的素数问题。

例如取f1(n)=n,f2(n)=n+2。Schinzel猜想便立即给出：存在无穷多个n，使得n和n+2同时为素数——这正是孪生素数猜想。

换句话说，孪生素数并不是一个孤立的问题。它只是一个更加宏大的数学图景中的一个特殊角落。

也许最终的突破会来自新时代的张益唐或梅纳德，从意想不到的角度重构问题；也许，AI会在权重优化中捕捉到某种此前未被注意的结构；又或者，我们需要一种全新的数学语言，才能跨过最后这道鸿沟。

但无论答案何时到来，有一点是确定的。数学家们手中那把名叫“筛法”的工具，早已从一张写写划划的稿纸，演化成了一套能撬动无穷与有限边界的深刻数学哲学。而故事，还远未结束。

参考文献

[1][2608.31126]Bounded gaps between primes

[2]https://primegaps.axiommath.ai/bgp212.pdf

[3]openai/PrimeGaps186:Conditional Lean formalization and numerical certificate for prime gaps at most 186.

[4]Gowers,W.T.(2009,March 24).Can Polymath be scaled up[Web log post]?Retrieved from https://gowers.wordpress.com/2009/03/24/can-polymath-be-scaled-up/

[5]Maynard,J.(2019).Gaps between primes.ArXiv.arXiv:1910.13450[math.NT]

[6]Bounded gaps between primes-Annals of Mathematics