AI 攻克克雷千禧年数学大奖难题

引言

9 月 8 日星期二上午，OpenAI 的数学家们宣布，在他们指导下运行于一款尚未公开的先进模型之上的 1 万个自主 AI 智能体，已在三维 Navier-Stokes 方程中发现了一个"奇点"，从而解决了 Clay 数学会 2000 年提出的千禧年大奖难题中仍悬而未决的六题之一——每题奖金 100 万美元。该结果已在编程语言 Lean 中通过形式化验证，令数学家们有充分理由相信它确为正确。

如果这一结果能经受住后续审查，它无疑将大幅超越此前所有由 AI 模型得出的数学证明，成为迄今为止最重要的一个，并可能标志着数学家攻克难题方式的根本性转折。

这道难题涉及微分方程——描述变量之间关系的数学工具。它们或许是我们解释周围世界最重要的单一数学工具。一般而言，微分方程容易列出来，却极难求解。

Navier-Stokes 方程是一组基于牛顿第二运动定律描述流体行为的微分方程，涵盖从洋流到气流的种种现象。这组方程最早于 19 世纪中期被写出，此后一直是流体力学研究的核心。但一个基本问题始终悬而未决：它们的解是否总是"良好"的？还是说，随着时间推移，流体中某个微小区域的速度会趋于无穷大，从而产生所谓的"奇点"？

OpenAI 宣布发现这一久寻不得的奇点，距纽约大学的 Tristan Buckmaster 发表声明仅 12 小时。Buckmaster 表示，他与 Anthropic 的 Levent Alpöge 借助包括 OpenAI 在内的多种 AI 模型，已解决了若干密切相关的问题。

两个借助 AI 的团队都大量借鉴了马德里数学科学研究所的 Diego Córdoba 和 CUNEF 大学的 Luis Martínez-Zoroa 的工作。这两位研究者提出了一套攻克该问题的策略，与大多数数学家惯用的方法截然不同。

“这个问题被解决了，我非常激动，”普林斯顿大学的 Charles Fefferman 说道，他曾为克雷研究所撰写 Navier-Stokes 问题的官方描述。他说，这个故事的英雄是 Córdoba 和 Martínez-Zoroa。正如 Buckmaster 在公布其成果的声明中所写：“让我把我私下对同事们说的话挑明：鉴于这一系列工作，我认为 Luis Martínez-Zoroa 配得上菲尔兹奖。”

奇点的震撼

Navier-Stokes 方程建立在这样一个假设之上：你可以对流体不断放大，考虑无限小的流体微元。但真实世界并非如此——流体归根结底由分子和原子构成，并不是完美光滑的。这意味着关于奇点形成的那些数学结果并没有直接的实际意义。不过，这些结果依然重要，因为即使只在理想化的意义上，奇点的存在也足够令人惊讶。它告诉我们：牛顿第二定律看似简单直白，但应用到流体上，其推论却极度反直觉。换句话说，湍流比它看上去还要诡异得多。

Navier-Stokes 方程考虑了流体可能具有黏性（即摩擦力）这一事实。（黏性大的流体如蜂蜜，流动缓慢；黏性小的如水，流动更快。）与之相关的一组更简单的方程叫 Euler 方程，描述的是零黏性、无摩擦流动的流体。这两组方程关系密切——研究者常常同时研究两者。但哪怕引入 infinitesimal 级别的摩擦，流体的行为也会发生根本性的改变。

"十年前，没人相信 Navier-Stokes 方程存在奇点，"Córdoba 说——不过当时很多人都认为 Euler 方程确实允许奇点。这一局面从 2013 年开始改变。当时，加州理工学院的 Thomas Hou 与如今在恒生大学（港）的 Guo Luo 推导出了一项突破性成果：在一个圆柱体中，若上下两半以相反方向旋转，Euler 方程就会出现数学家常说的"blow up"（爆破）。"那是第一次有人真正严肃地提出奇点存在，"Córdoba 回忆道。此后几年间，一系列研究成果（包括一篇 2019 年的论文）让数学家们开始意识到：不仅 Euler 方程可能存在奇点，Navier-Stokes 方程同样可能如此。

从那时到今天，还跨越了几个关键的思维台阶。第一个是无界问题。千禧年奖版本的题目关注的是向所有方向无限延伸的三维空间，而此前的成果（如 2013 年的圆柱体结果）都预设了某种边界的存在。Fefferman 认为，这些是有用的中间结果，但无界情形在数学上更有意思——因为在有边界的模型中，发现奇点"只能说明流体通过与边界的相互作用形成了奇点；而没有边界时，纯粹是流体自身在搞事情"。

下一步的关键是建模驱动流体运动的力。这些力可以是自然的重力，也可以是人为干预，比如螺旋桨。数学家用"强迫项"（forcing）来描述这类力。有时他们会引入一些笨拙的强迫函数，让流体表现出反常行为。但千禧年难题的版本关注的是：当强迫函数在数学上是"光滑"（smooth）的时，会发生什么。

2013年，Hou和Luo利用计算机模拟了Euler方程可能发生"爆炸"（blow up）的场景，随后通过计算穷举所有可能的数值误差，严格证明了爆炸确实会发生。此后多年，这类方法成为攻克Euler方程和Navier-Stokes方程的主流手段。

但Martínez-Zoroa在2021年的博士论文中开创了一条纯解析的路线，完全不依赖计算机。这让他和导师Córdoba在这个领域显得格格不入。到2023年，两人已证明：当Euler方程带有杂乱强迫函数时，会出现奇点。

Córdoba爱开玩笑说："我不用AI，我有Luis。"Martínez-Zoroa补充道，并非两人反对AI，而是"直到不久前，我尝试用它来做自己的研究时，它跟我的工作流匹配得不太好。我显然得学着适应。"

大体上，两人的方法是这样构建的：先造出一串无穷"层"（layer），每一层都是所研究方程的一个无奇点解（他们已将类似技巧应用于Euler方程、Navier-Stokes方程及其他相关系统），然后通过Martínez-Zoroa所说的"无穷级联"把这些解组合起来，得到一个新的解。

他们证明，这个新解中确实包含了目标奇点。不过，虽然每一层各自依赖的是光滑强迫函数，但将它们合并后，强迫函数可能产生不理想的数学性质。这正是该方案未能满足千禧年难题标准的原因。剩下的难点在于：如何构造一个类似的无穷级联，使最终结果不仅产生奇点，还保持强迫函数的光滑性。

这正是两个竞争的 AI 团队似乎都取得了突破的一步。

一次激动人心的组合

就在 Córdoba 和 Martínez-Zoroa 钻研自己的技术时，AI 驱动的数学研究正迎来一波高潮。入夏以来，以 OpenAI 和 Anthropic 为主的大型语言模型已经被用于在数学的多个领域取得定理证明。这些成果往往还附带形式化证明，借助编程语言 Lean 以严丝合缝的方式确认命题为真。（仍需人类完成的关键一步，是保证在 Lean 中被验证为真的命题，与数学家原本要证明的内容在逻辑上等价。）

整个夏天的大部分时间里，这场竞争即便谈不上友好，至少也没有公开撕破脸。但过去 24 小时内，情况变了。

Buckmaster 在 9 月 7 日周一午夜前发布了一份声明，公布了他与 Alpöge 合作的成果。“过去一年的大部分时间里，进展都很缓慢，”Buckmaster 在声明中说。但到 8 月 22 日，他们已经有了经过 Lean 验证的 Euler 方程证明：“可以说，Levent 发给我的第一份 LLM 生成的证明，是我读过的最糟糕的东西，”Buckmaster 写道。

两人原本打算继续打磨出一份更优雅的论文，但他们的进展风声泄露到了 OpenAI 那边，只好提前公开。Buckmaster 感叹，他和 Alpöge 发布的三篇论文中，有一篇“只能形容为 AI 垃圾产物，对此我很抱歉。”

OpenAI 承认，他们研究 Navier-Stokes 方程的灵感来自一则传闻——Alpöge 和 Buckmaster 已解决了一个千禧年大奖难题。（实际上并未完全解决，但他们表示手头已有一个针对较简化版 Navier-Stokes 方程的爆破证明，尚未经过验证。）OpenAI 利用一个新的内部模型，派出不同规模的自主 AI agent 群体，分别攻克 Euler 和 Navier-Stokes 问题的变体。公司在新闻稿中写道："近 100 个 agent 协作约 50 小时，完成了 Euler 正则性的反证。"随后，他们又调用了约 10,000 个 agent 组成的更大团队来攻克 Navier-Stokes。88 小时后，运行在该内部模型上的 agent 得出了 Navier-Stokes 中奇点存在的证明；再过 17 小时，另一个 AI 模型将这一结果完成了形式化。整个过程中，agent 之间累计发送了将近 500 万条消息。OpenAI 的 Sébastien Bubeck 估计，计算成本达数百万美元。

本文付梓之际，Buckmaster、Alpöge 与 OpenAI 之间互动的细节仍扑朔迷离——各方给出的版本各不相同。OpenAI 将 3D Euler 结果的优先权让给了 Buckmaster 和 Alpöge，但声称 Navier-Stokes 的结果归自己。Buckmaster 在声明中暗示，OpenAI 的研究人员或其 AI agent 可能获取并利用了 Buckmaster 和 Alpöge 借助 OpenAI 模型完成的工作。

理清"谁在什么时候做了什么"的时间线，以及理解这些 AI 新证明在数学上的真正意义，还需要一些时间——即便它们已经通过了形式化验证。但无论如何，对 Córdoba 和 Martínez-Zoroa 的学术致谢是明确的。"我为 Tristan 感到由衷高兴，"Martínez-Zoroa 说，"本来自己做到这一步会很棒，但我真的很为他高兴。"