“惊艳”的渗流理论证明破解数十年相变难题

引言

2025年圣诞节前的一周，五位数学家躲在了苏黎世联邦理工学院（ETH Zurich）的一间教室里。气氛紧张而亢奋：他们离一项足以定义职业生涯的重大突破仅一步之遥。

这个团队由当时的博士后 Sahar Diskin 和 Philip Easo、研究生 Ritvik Ramanan Radhakrishnan，以及 Benny Sudakov 和 Vincent Tassion 组成，他们正在完善对渗流理论（percolation theory）中最大未解问题之一的解答。渗流理论研究的是网络中的流动现象。

渗流可以捕捉极其广泛的现象，但最典型的例子涉及流体，比如热水渗透过咖啡粉床。Diskin、Easo、Radhakrishnan、Sudakov 和 Tassion 试图弄清楚一个关于图（graphs）的根本性问题：由点（顶点）和线（边）构成的网络，是如何被大片连通区域所“占领”的——这相当于流体在多孔介质中汇聚成池。这个团队瞥见了一个简洁的论证，能够同时处理种类繁多的图结构。

“一开始我们都不敢相信。”Radhakrishnan 说。

他们争分夺秒地核实每一个细节，唯恐灵感稍纵即逝，急切想把想法落实在纸面上——全然不顾假期。Diskin 说：“我不确定他们的伴侣和家人是否和我们一样开心。但那一刻，我们都非常快乐。能捕捉到如此宏大且意义非凡的东西，实在太罕见了。”

他们熬夜苦战。到了 12 月 17 日清晨，疲惫却兴奋不已的他们确信自己的思路是正确的。圣诞节前夕，他们完成了证明。

他们解答了一个困扰数十年的问题：当你打开渗流网络让其允许流体通过时，网络被淹没的速度有多快？特拉维夫大学的 Asaf Nachmias 研究渗流理论与概率论，他说：“我从这个证明中获得了巨大的喜悦。它太震撼了。”

富兰克林的流体

渗流可以描述多种流动现象：病毒在城市中的传播、气体透过过滤器的过程，或者野火的蔓延。但它的灵感最初来源于煤炭。

20 世纪 40 年代，科学家 Rosalind Franklin——如今因其在 DNA 结构方面的贡献而闻名——受雇于英国煤炭综合利用研究协会（BCURA），致力于理解煤炭、木炭和石墨的复杂性质。科学家们知道煤炭中布满了微小的孔隙，但却不明白为何某些类型的煤炭允许流体穿透，而其他类型则完全不透水。

通过将煤炭浸入各种流体中，Franklin 能够测量其孔隙的典型尺寸以及变化幅度。大约十年后，研究者 Simon Broadbent 和 John Hammersley——为了解气体面具中碳滤材的原理——开发了一种数学模型。

他们的想法很简单。取一个由均匀分布的点（也称为晶格）组成的网格和一枚硬币。对于每一对相邻的点，抛掷硬币。如果正面朝上，就用一条边将这两个点连接起来，流体可以在它们之间流动；如果反面朝上，则阻断流动。对每一对点重复这一过程。流体能流动多远？

答案取决于硬币正面朝上的概率，这个概率可以从 0% 到 100%。当概率较低时，流体只能通过少数几条通道，于是聚集在一个个孤立的小水洼里。

但一旦概率超过某个阈值——即临界概率——网格就会突然打通，流体可以在整个系统中大面积流动。

临界概率的具体数值取决于网格的形状：正方形网格和三角形网格的临界概率不同，三维网格和二维网格的临界概率也不同。但只要越过这个临界值，你就会看到相变，就像液态水结成冰一样。在有限图上，越过临界概率意味着网络会被一大片流体主导。在无限图——一种向四面八方无限延伸的抽象结构——上，则会有一片或多片无限大的流体占主导地位。物理学家很快意识到，通过渗流模型，他们可以研究融化和凝固，以及磁化等其他相变现象。

“物理学中的相变很难做严格的理论研究，”Easo 说，“渗流模型就像它的简化版。所以人们往往先研究渗流，再把工具逐步推广出去。”

对于长期被复杂的现实相变问题困住的科学家来说，用魏茨曼科学研究所的 Itai Benjamini 的话说，“它在一个极其简单的设定中抓住了问题的本质，把许多可能干扰问题的因素都剔除了。”

数十年来，研究人员致力于量化渗流的相变。他们想确切知道，随着硬币正面概率的增加，流体池是如何快速增长的。许多人预测，池子增长得极快——在临界概率以下，水洼微乎其微；超过临界概率后，一片汪洋几乎覆盖一切。这一预测被称为锐度猜想（sharpness conjecture）。

20 世纪 80 年代，两组独立的研究团队分别在新泽西和莫斯科证明了格点上的锐度。普林斯顿大学和加州理工学院的Tom Hutchcroft是 Easo 的博士导师，他称这一成果“具有基础性意义”。掌握了锐度，数学家就能推导出淹没网络结构的许多性质——尤其是被淹没部分的形态与底层格点极为相似。

因此，当 Benjamini 和他的同事 Oded Schramm 计划将渗流研究拓展到新型网络时，很自然地会想到：锐度是否也会随之成立？

跳出网格

1996 年，Benjamini 和 Schramm 希望研究一大类图——即传递图（transitive graphs）上的渗流。要理解什么是传递图，可以把图想象成一片平坦荒原上的道路网络。若想确定自己身处何处，唯一的参照物是路口。但如果图是传递的，所有路口看起来都相似——要定位自己，就必须依赖 GPS 或指南针。

正方形格点就是一个传递图的例子：每个路口由四条边以直角交汇而成。但传递图种类繁多——简单的环（左下图）和无限扩展的“树”（右下图），还有些几乎无法可视化。

许多传递图表示来自其他数学子领域的对象，如代数或几何。本雅米尼对这些跨学科的可能性很感兴趣——他希望渗流过程能揭示关于图本身的见解。"你有一个舞台，那就是几何，还有一位舞者，那就是随机过程，"他说。通过观察舞者，他希望了解更多关于舞台的信息。

在接下来的十年里，本雅米尼、施拉姆以及他们的同事发表了大量关于传递图渗流的结果。他们证明了，对于一类无限传递图，当你打开边让流体流动时，渗流表现出相变：小型孤立的流体池突然合并成无限连接的河流网络。

但他们仍然不知道这种转变有多快。在临界点以下，池子有多大、有多少？在临界点以上，无限网络是遍布溪流的草地——还是更像淹没整个图的海洋？

本雅米尼和施拉姆怀疑，尖锐性猜想在所有无限传递图上的版本是成立的。这个猜想可以分解为两个独立的问题。"次临界"部分——涉及临界点以下发生的情况——由 Tonći Antunović 和 Ivan Veselić 于 2007 年完成。他们的 研究 表明，在这里，流体池既小又分散。即使在临界点以下极小的距离，系统的状态更像亚利桑那州而非明尼苏达州。

猜想中处理临界阈值以上概率的"超临界"部分似乎更难。在这里，景观应由可能存在的多个海洋组成，每个都无限大。在这种情况下，不与无限海洋相连的大型池子变得极其罕见。这是因为大型孤立池子要保持分离，其周围必须有大量干燥陆地——或封闭的边。

但超临界锐利性的证明似乎遥不可及。一方面，以往的工作帮不上忙：关于格点上超临界锐利性的一份证明冗长复杂，而且无法推广到更一般的情形。过去十年里，其他一些基础性结果都被简化了，唯有这个问题依然坚不可摧，Nachmias 称之为“最后一座堡垒”。

研究这个问题的数学家们“做了很多漂亮的工作，开创了整个理论，把容易摘的果子都摘完了”，Benjamini 说，“然后我们就撞上了墙。”

2008 年，随着非格点渗流研究的进展放缓，Schramm 在徒步时不幸坠崖去世，年仅 46 岁。“一场悲剧夺走了天才 Oded Schramm，”Benjamini 说，“之后我们只能等待新的天才出现。”

大约十年前，这个领域重新开始提速。但超临界锐利性的证明依然困难。

这时，苏黎世的团队给出了一个简洁的证明。

急转直下的关键一步

Diskin、Easo、Radhakrishnan、Sudakov 和 Tassion 一开始并没打算证明超临界锐利性。2025 年秋天的大部分时间里，他们一直在研究临界概率如何随图中边数变化。

但这五位数学家希望在学期结束前拿到结果。眼看截止日期临近，他们手上却连一个像样的证明都没有。于是 Easo 建议转攻锐利性。他与 Diskin、Radhakrishnan 取得了一些进展，然后把结果拿给 Sudakov 和 Tassion 看。Tassion 仔细研究之后，脑海中冒出一个想法——一个也许称得上离经叛道的想法。

他意识到，只要稍加调整，他们的策略也许足以证明所有无限传递图的锐利性。“从那一刻起，这个问题就日日夜夜盘踞在我脑海里，”Tassion 说。

“Vincent 为此彻底着了魔，”Diskin 说，“我估计他至少两个星期没怎么睡觉。”

着魔的不止 Tassion。那几周里，整个合作团队进入了狂热状态。数学家们不停交换想法，常常深夜还在发消息。“我们所有人都隐隐觉得这里面真有戏，”Diskin 说，“一开始我们还半开玩笑……说不定同一个想法能一举解决这个重大猜想。我们互相都觉得好笑，可万一呢？万一呢？”

激进的简洁

满怀兴奋，加之假期将至，他们决定认真对待，开始动笔撰写论文。

为了证明在临界概率之上出现大型孤立流体的可能性微乎其微，数学家们假设确实存在这样一片流体池，并考察其周边的岸线。沿这条岸线，既有溪流注入池中，也有溪流与某一无限的海洋相连。如果这些溪流在任何地方交汇，就会引出矛盾——所谓“有限流体池”实际上竟是无限海洋的一部分。

池子越大，岸线就越长——这意味着流体可能与无限海洋相连的区域也更大。研究团队五人证明，这种情况使得避免矛盾几乎不可能。

就在他们推敲论文最后细节时，突然意识到，只需做一个简单的调整，整个论证就能大幅强化。

他们此前一直使用概率论中一种常用的技巧，称为“ sprinkling ”（散布）：先预留少数几条开启的边，相当于略微降低临界概率；然后在其余边上寻找大型流体池，并分析其周围的开启路径。由于预留的边与流体池无关，可以独立分析。这使得更容易证明，当这些预留边与图的其余部分结合时，它们几乎总是形成通往某一无限海洋的路径。

但在讨论过程中，他们想到了一个非正统的改进方案：如果先分析那些散布的边，证明过程会简单得多。更重要的是，这一调整足以强化论证，使其适用于所有无限传递图。“我们经历了一场思想上的乒乓球赛，” Diskin 说，“每当两个想法相互碰撞，那堵墙就愈发模糊，直至完全消失。这时会有点吓人，因为你真的可能已经把它拿到了手。”

最终，他们确信自己已经完成了证明：只要概率略高于临界阈值，哪怕只高一丝一毫，流体便会覆盖几乎整个传递图。

两个月后，他们发表了一篇论文。该论证适用于任意无限传递图上的渗流。“如果把证明中的每一句话放大来看，都显得十分熟悉且简单，但将它们组合在一起的方式却真正具有创新性，” Nachmias 说。

他们的方法还能应用到大量尚未研究的渗流系统——比如节点并不完全相同的图，或是描述水结冰或量子材料等更复杂的模型。

不过还有一个重大未解之谜：在三维格点——最贴近物理系统的图结构——上，精确处于临界概率时究竟会发生什么？是否存在一片无限延伸的海洋？

这一进展对Benjamini尤其意义重大，他曾等待十年，盼望着这次研究能重新启动。「对学界、对我们来说，这是一条非常深刻且意义重大的定理，也是拼图的重要组成部分，」他说。

谈及这份证明，Benjamini说道：「它是颗宝石，真的是颗宝石。」