在 Hilbert 空间中，一切皆有量子可能

量子力学的核心，是几条使用这套理论时必须遵守的基本规则。最重要的一条大致是：不要把量子对象想象成此刻正在普通空间中飞驰的普通物体。量子力学真正预测的是——而且精确到了惊人的程度——一个对象未来可能呈现的所有状态。要探索这些可能的未来，就必须追踪一种完全不同的数学对象：一种称为向量的箭头，它指向一个广阔而陌生的领域。

这些箭头指向的并不是具体位置。加拿大滑铁卢理论物理周界研究所的物理学家 Lucien Hardy 说：“那是一个抽象得多的空间。”它们“实际上指向的是可能性空间中的某个方向”。

这个可能性空间被称为 Hilbert 空间，是量子物理的主要舞台。

最初的量子力学先驱起初并没有意识到：那套精准描述原子行为的神秘数学，已经把现实世界抛在了身后。直到富有远见的数学物理学家 John von Neumann 出现，才认识到量子世界可以定义为一个 Hilbert 空间。此后，对 Hilbert 空间内在结构和性质的探索，帮助物理学家更深入、更统一地理解了量子物理。

下面就来看看 von Neumann 的量子物理第一条诫律是如何形成的，以及应该如何理解它。 

什么是 Hilbert 空间？

冯·诺伊曼提出的种种“戒律”，也就是公理，是他理解两种在 20 世纪 20 年代相继诞生的量子力学体系的方式。1925 年，维尔纳·海森堡首先提出“矩阵力学”。它通过令人费解的表格——在后来的表述中则是没完没了的数字阵列——来计算绕原子运行的电子跃迁到更高或更低轨道的概率。第二年，埃尔温·薛定谔提出了“波动力学”。这种理论用波来描述粒子出现在空间某个位置的概率。尽管这两位物理学家描绘出的图景截然不同，但它们给出了完全相同的预测。海森堡和薛定谔以两种截然不同的形式，提出了同一个理论。那么，这个理论究竟是什么？

这个问题深深吸引了数学家大卫·希尔伯特。他毕生大部分时间都在致力于为物理学重建一个由严谨公理构成的坚实基础。20 世纪 20 年代中期，他促使冯·诺伊曼开始思考这一问题。1927 年，这位 23 岁的天才在保罗·狄拉克研究成果的启发下，通过三篇独立署名的论文解决了这个问题。

数学史学家Leo Corry说：“具体的想法属于冯·诺伊曼，但背后的启发——为什么要建立公理体系、又是为了什么——则来自希尔伯特。”

这些论文确立了量子力学的规则，严谨定义了这套理论的核心对象及其行为方式。冯·诺伊曼证明，海森堡的数字阵列和薛定谔的波，其实是同一个实体的不同表现，就像 0.5 和 ½ 表示数轴上的同一个点。二者描述的，都是量子力学的主角：量子态。

万物都有状态。硬币可能是正面朝上，也可能是反面朝上；摆钟的摆锤在摆动时，可以处于无数个不同位置。物理学的大部分内容，归根结底就是描述物体的状态，并预测它将如何变化。

Von Neumann 的量子规则让“状态”这一概念变得复杂。观测量子对象之前，它并没有一组确定的属性，比如一个明确的位置。相反，它处于一种量子力学特有的可能性组合之中，也就是“量子叠加”。例如，叠加态可以包含粒子最终可能出现的所有位置。这些可能性可以非常明确，且包含丰富信息：你或许有 99% 的概率在左边找到粒子，只有 1% 的概率在右边找到它。你知道该如何下注，但在真正查看之前，无法确定自己是否猜对。

Von Neumann 用一个称为向量的数学箭头表示量子态。这个箭头指向一个空间中的某个方向，而这个空间涵盖了任意量子对象所有可能的未来——它就是 Hilbert 空间。

想象一盏有三种可能状态的量子交通灯：红、黄、绿。它的箭头存在于一个三维 Hilbert 空间中，三个坐标轴分别代表未来可能出现的三种颜色。在被观测的那一刻之前，交通灯并没有确定的颜色，而是处于多种颜色的混合状态。因此，它的箭头会指向这个空间的中心区域。箭头越接近红色坐标轴，交通灯最终亮红灯的可能性就越大。

  

从电子到星系，任何对象的状态都可以用这样的向量表示：向量指向相应 Hilbert 空间中的某个方向。这就是 Von Neumann 量子力学的第一条规则。 

Hilbert 空间中会发生什么？

箭头在 Hilbert 空间中的运动方式有两种，Von Neumann 的其他规则对此作出了规定。

第一种情况对应的是观测发生之前的状态。随着外界影响这个物体、改变它的状态，这支箭头会在 Hilbert 空间中平滑转动。它可能逐渐靠近绿色轴，这意味着交通灯最终被测量为绿色的概率会上升；也可能靠近红色轴或黄色轴。关键在于，整个过程都是平滑且可预测的。

但一旦你真正观测这个系统，向量就会瞬间、随机地跳到红色、黄色或绿色轴中的某一条上。它与某条轴越接近，就越可能跳到那条轴上，而不是其他轴；不过最终会落在哪条轴上，仍然无法预测。假设它跳到了绿色轴。你会观测到绿灯，而之后的测量结果仍为绿色的概率将变成 100%，因为这支箭头已经与绿色轴完全重合。量子叠加态也就不复存在了。

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Hilbert 空间由哪些性质定义？ 

一个物体可能拥有的未来越多，它的 Hilbert 空间就越大。只有两种可能未来、类似抛硬币的粒子称为“qubit”，是量子计算机的基本计算单元。它的 Hilbert 空间是二维的。我们的三色交通灯则拥有三维 Hilbert 空间。但这还只是开始。一个自由漂浮的粒子可能出现在宇宙中的任意位置，因此它的 Hilbert 空间必须覆盖无限多个维度。

根据 von Neumann 的规则，Hilbert 空间的大小——无论是二维还是无限维——是它唯一的基本特征。那些轴是我们自行设想的，并非空间固有的组成部分。

以电子为例。它处于一个状态，也就是一支指向庞大希尔伯特空间的箭头。这个希尔伯特空间涵盖所有可能的测量——能量、位置、动量等。如果想知道电子可能出现在哪里，可以用代表各种可能位置的坐标轴来标记这个空间；如果想知道粒子可能朝哪里运动，则换用代表各种可能动量的另一组坐标轴。无论你打算进行哪种测量，底层的希尔伯特空间始终不变。

正是这种可以随意划分希尔伯特空间的自由，让海森堡和薛定谔得以提出同一理论的两个不同版本。海森堡表象相当于固定箭头、让坐标轴围绕它旋转；薛定谔表象则反过来，固定坐标轴，让箭头相对坐标轴旋转。它们是在同一个希尔伯特空间中，对同一组箭头采取的两种截然不同的数学视角。

在 1927 年发表的第一篇论文中，冯·诺伊曼提出了定义这类空间的两个数学条件。首先，空间必须是“完备的”，不能缺少任何区域或点。其次，必须能够计算一个状态与某条坐标轴之间的对齐程度。你可以想象一束光沿着箭头正上方照下，在坐标轴上投下影子来理解这一点。（影子越长，箭头就越与该坐标轴对齐。）这种被称为内积的运算必须能够在该空间中进行。凡是具备这两个特征的空间，无论规模大小、来源如何，都是希尔伯特空间。

“这是构建我们所谓的希尔伯特空间量子力学的关键一步，”伦敦政治经济学院物理学哲学家 Miklós Rédei 说。“这是数学概括或抽象如何发生的一个绝佳例子。”

冯·诺伊曼将这些抽象空间称为 Hilbert 空间，因为他的导师 Hilbert 早在 20 世纪初就率先研究了某些无限维空间。Hilbert 的工作建立在这些空间具有完备性和内积的基础上，但直到他的门生将它们归入一个更一般的空间类别，他才意识到这些空间是其中的具体实例。这位年长的数学家或许没想到，自己的名字会被赋予这种全新的数学结构。据传，Hilbert 曾在 1929 年的一场讲座上问道：“冯·诺伊曼博士，我实在很想知道，这些 Hilbert 空间究竟是什么？” 

Hilbert 空间是真实存在的，还是仅仅一种抽象？

量子力学诞生一个世纪后，这套理论让物理学家陷入了尴尬境地。我们生活在一个物体穿行于三维物理空间、位置随之改变的世界里。但我们最根本的理论，却发生在另一个地方——冯·诺伊曼所描述的那个包罗万象的可能性空间。这对我们这个世界的实在性，或对 Hilbert 空间本身的实在性，意味着什么？

在约翰斯·霍普金斯大学哲学家兼物理学家 Sean Carroll 看来，答案很明确。他在一篇2022 年论文中指出，如果量子力学是描述自然的基础理论，那么 Hilbert 空间就应被视为现实的基本舞台。他的研究方向之一，就是试图从这个令人无所适从、囊括宇宙一切可能性的 Hilbert 空间中，推导出我们熟悉的世界。

其他物理学家则采取更务实的态度。普林斯顿大学物理学家 Jonathan Sorce 认为，Hilbert 空间是一种十分方便的数学构造，用来描述许多量子系统时异常有效——但并非所有系统都适用。他与一群研究人员正在寻找一种数学构造，用量子对象来描述时空的结构。要回答黑洞内部究竟发生了什么等重大问题，首先就需要这样一套理论。

物理学家最近开始关注一种更为抽象、似乎尤其适合解决这些问题的空间。这类空间由对 Hilbert 空间可以进行的各种操作构成，比如以不同方式将其切分，或把一个切片旋转成另一个切片。在这个领域里，他们发现黑洞似乎没那么神秘了。

如今，这种“超空间”被称为 von Neumann algebra。von Neumann 本人参与了它的创建，希望借此解决 Hilbert 空间中一些令他困扰的逻辑不一致问题。1935 年，他在探索代数的优点时写信说：“我想坦白一件听起来或许有些不道德的事：我已经不再相信 Hilbert 空间了。”这是他当时写下的话。

至于 Sorce，他并不认同 von Neumann 试图让一个空间统领一切的想法。他更愿意根据所研究的量子对象，选择最合适的数学结构。很多时候，这个结构是 Hilbert 空间；有时是 von Neumann algebra；偶尔也可能是过去一个世纪里数学家构造出的其他形形色色的空间。

“这东西简直像一个动物园，”他说。